Номер 662, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 662, страница 203.

Условие.

662 Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 16 \\ x + y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0 \\ x + 2y = 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 16 \\ x + y = 2 \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 2 - x$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 + 2x + (2 - x)^2 = 16$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение, приведя подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 4 - 4x + x^2 = 16$

$2x^2 - 2x + 4 = 16$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя выражение $y = 2 - x$.

1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 2 - 3 = -1$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3; -1)$, $(-2; 4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 3 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(3 - 2y)^2 + y^2 - 2(3 - 2y) - 6y + 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(9 - 12y + 4y^2) + y^2 - 6 + 4y - 6y + 6 = 0$

$(4y^2 + y^2) + (-12y + 4y - 6y) + (9 - 6 + 6) = 0$

$5y^2 - 14y + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16$

Найдем корни уравнения, используя формулу $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{14 \pm 4}{10}$

Отсюда получаем два значения для $y$:

$y_1 = \frac{14 + 4}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

$y_2 = \frac{14 - 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = 3 - 2y$.

1. Если $y_1 = \frac{9}{5}$, то $x_1 = 3 - 2 \cdot \frac{9}{5} = 3 - \frac{18}{5} = \frac{15 - 18}{5} = -\frac{3}{5}$.

2. Если $y_2 = 1$, то $x_2 = 3 - 2 \cdot 1 = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-\frac{3}{5}; \frac{9}{5})$, $(1; 1)$.