Номер 664, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 664, страница 205.

Условие.

664 Составьте систему уравнений по условию задачи:

а) Николай на выполнение домашней работы по математике затратил на 30 мин больше, чем по географии. Всего на эти два предмета он затратил 1 ч 40 мин. Сколько времени потребовалось на каждый предмет?

б) Скорость лодки по течению реки 18 км/ч, а против течения 15 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

в) Стоимость карандаша составляет $\frac{2}{3}$ стоимости ручки, причём ручка на 6 р. дороже карандаша. Сколько стоит ручка и сколько карандаш?

г) С июня ежемесячная плата за квартиру увеличится на 6%, и семье придётся платить 901 р. Сколько рублей платит семья за квартиру теперь и на сколько рублей увеличится плата?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Обозначим время, затраченное на домашнюю работу по математике, как $x$ минут, а время, затраченное на географию, как $y$ минут.

Переведем общее время в минуты: 1 час 40 минут = $60 + 40 = 100$ минут.

По условию задачи, на математику было потрачено на 30 минут больше, чем на географию. Это можно записать как первое уравнение:

$x = y + 30$

Всего на два предмета было затрачено 100 минут. Это второе уравнение:

$x + y = 100$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x = y + 30 \\ x + y = 100 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(y + 30) + y = 100$

$2y + 30 = 100$

$2y = 100 - 30$

$2y = 70$

$y = 35$

Таким образом, на географию было затрачено 35 минут.

Теперь найдем время, затраченное на математику, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 35 + 30 = 65$

На математику было затрачено 65 минут, или 1 час 5 минут.

Ответ: на математику потребовалось 65 минут (1 час 5 минут), а на географию – 35 минут.

б)

Обозначим собственную скорость лодки как $v_{соб}$ (км/ч), а скорость течения реки как $v_{теч}$ (км/ч).

Скорость лодки по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения:

$v_{соб} + v_{теч} = 18$

Скорость лодки против течения равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{соб} - v_{теч} = 15$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 18 \\ v_{соб} - v_{теч} = 15 \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы найти $v_{соб}$:

$(v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 18 + 15$

$2v_{соб} = 33$

$v_{соб} = 16.5$

Собственная скорость лодки составляет 16,5 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $v_{соб}$ в первое уравнение, чтобы найти $v_{теч}$:

$16.5 + v_{теч} = 18$

$v_{теч} = 18 - 16.5$

$v_{теч} = 1.5$

Скорость течения реки составляет 1,5 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки – 16,5 км/ч, скорость течения реки – 1,5 км/ч.

в)

Обозначим стоимость ручки как $x$ рублей, а стоимость карандаша как $y$ рублей.

По условию, стоимость карандаша составляет $\frac{2}{3}$ стоимости ручки. Запишем первое уравнение:

$y = \frac{2}{3}x$

Также известно, что ручка на 6 рублей дороже карандаша. Второе уравнение:

$x = y + 6$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{2}{3}x \\ x = y + 6 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$y = \frac{2}{3}(y + 6)$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3y = 2(y + 6)$

$3y = 2y + 12$

$3y - 2y = 12$

$y = 12$

Стоимость карандаша составляет 12 рублей.

Теперь найдем стоимость ручки, подставив значение $y$ во второе уравнение:

$x = 12 + 6 = 18$

Стоимость ручки составляет 18 рублей.

Ответ: ручка стоит 18 рублей, а карандаш – 12 рублей.

г)

Обозначим плату за квартиру, которая была до повышения, как $x$ рублей, а сумму, на которую плата увеличится, как $y$ рублей.

Плата увеличится на 6%, то есть на $0.06$ от первоначальной суммы. Запишем первое уравнение:

$y = 0.06x$

Новая плата равна старой плате плюс сумма увеличения, и по условию она составляет 901 рубль. Второе уравнение:

$x + y = 901$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} y = 0.06x \\ x + y = 901 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x + 0.06x = 901$

$1.06x = 901$

$x = \frac{901}{1.06} = \frac{90100}{106} = 850$

Таким образом, семья платит за квартиру сейчас 850 рублей.

Теперь найдем, на сколько рублей увеличится плата. Для этого подставим значение $x$ в первое уравнение:

$y = 0.06 \times 850 = 51$

Или можно вычесть из новой платы старую:

$y = 901 - 850 = 51$

Плата увеличится на 51 рубль.

Ответ: сейчас семья платит за квартиру 850 рублей, а плата увеличится на 51 рубль.