Номер 1, страница 205 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.6. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 4. Системы уравнений - номер 1, страница 205.

Условие.

Разберите алгебраическое решение задачи из рассказа А. П. Чехова «Репетитор» (фрагмент 1).

1) Какие величины обозначены буквами $x$ и $y$?

2) Какое буквенное выражение означает стоимость синего сукна? чёрного сукна? их суммарную стоимость?

3) Какое буквенное выражение означает общее количество сукна?

4) Решите составленную систему способом сложения, исключив переменную $y$.

Решение 3.

Решение 4.

1) Какие величины обозначены буквами x и y?
Для решения задачи из рассказа А. П. Чехова «Репетитор» алгебраическим методом вводятся две переменные. Эти переменные обозначают количество (в аршинах) каждого вида сукна, которое купил купец. Обычно переменной $x$ обозначают первую упомянутую величину, а $y$ — вторую. В условии задачи сначала говорится о синем сукне (цена 5 руб.), а потом о чёрном (цена 3 руб.).
Таким образом:
$x$ — количество аршин синего сукна.
$y$ — количество аршин чёрного сукна.
Ответ: Буквой $x$ обозначено количество аршин синего сукна, а буквой $y$ — количество аршин чёрного сукна.

2) Какое буквенное выражение означает стоимость синего сукна? чёрного сукна? их суммарную стоимость?
Стоимость каждого вида товара вычисляется как произведение его цены на количество. По условию, аршин синего сукна стоит 5 рублей, а чёрного — 3 рубля.

• Стоимость всего синего сукна: цена за аршин синего сукна умноженная на количество аршин синего сукна, то есть $5 \cdot x$ или $5x$ рублей.
• Стоимость всего чёрного сукна: цена за аршин чёрного сукна умноженная на количество аршин чёрного сукна, то есть $3 \cdot y$ или $3y$ рублей.
• Суммарная стоимость — это сумма стоимостей синего и чёрного сукна. По условию, купец заплатил за всю покупку 540 рублей. Выражение для суммарной стоимости: $5x + 3y$.

Ответ: Стоимость синего сукна — $5x$, стоимость чёрного сукна — $3y$, их суммарная стоимость — $5x + 3y$.

3) Какое буквенное выражение означает общее количество сукна?
Общее количество сукна — это сумма аршин синего сукна и аршин чёрного сукна. По условию, купец купил всего 138 аршин.
Следовательно, буквенное выражение для общего количества сукна: $x + y$.
Ответ: Общее количество сукна означает выражение $x + y$.

4) Решите составленную систему способом сложения, исключив переменную y.
На основе данных задачи составляется система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
Первое уравнение отражает общее количество сукна: $x + y = 138$.
Второе уравнение отражает общую стоимость покупки: $5x + 3y = 540$.
Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 138 \\ 5x + 3y = 540 \end{cases} $$ Для решения системы методом алгебраического сложения и исключения переменной $y$, необходимо, чтобы коэффициенты при $y$ в обоих уравнениях были противоположными числами. Умножим обе части первого уравнения на $-3$:
$(x + y) \cdot (-3) = 138 \cdot (-3)$
$-3x - 3y = -414$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} -3x - 3y = -414 \\ 5x + 3y = 540 \end{cases} $$ Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:
$(-3x - 3y) + (5x + 3y) = -414 + 540$
Приводим подобные слагаемые:
$2x = 126$
Находим $x$:
$x = \frac{126}{2}$
$x = 63$
Мы нашли количество аршин синего сукна. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое, более простое, уравнение исходной системы:
$63 + y = 138$
$y = 138 - 63$
$y = 75$
Таким образом, было куплено 63 аршина синего сукна и 75 аршин чёрного сукна.
Ответ: $x = 63$, $y = 75$.