Номер 652, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.5. Решение систем уравнений способом подстановки. Глава 4. Системы уравнений - номер 652, страница 201.

Условие.

652 Решите систему уравнений, применив любой из известных вам способов:

а) $\begin{cases} 3m + 4n = 7 \\ 2m + n = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 5x + y = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5a + 2b = 15 \\ 8a + 3b = -1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5p - 4q = 3 \\ 2p - 3q = 11; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 8x - 2y = 14 \\ 9x + 4y = -3; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3y - z = 5 \\ 5y + 2z = 12. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 3m + 4n = 7 \\ 2m + n = 8\end{cases}$
Наиболее удобный способ — метод подстановки. Выразим $n$ из второго уравнения:
$n = 8 - 2m$
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$3m + 4(8 - 2m) = 7$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m$:
$3m + 32 - 8m = 7$
$-5m = 7 - 32$
$-5m = -25$
$m = 5$
Теперь найдем $n$, подставив значение $m$ в выражение для $n$:
$n = 8 - 2 \cdot 5 = 8 - 10 = -2$
Ответ: $m=5, n=-2$ или $(5; -2)$.

б)Решим систему уравнений: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 5x + y = 4\end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 4 - 5x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x - 2(4 - 5x) = 3$
Решим полученное уравнение:
$x - 8 + 10x = 3$
$11x = 11$
$x = 1$
Найдем значение $y$:
$y = 4 - 5 \cdot 1 = 4 - 5 = -1$
Ответ: $x=1, y=-1$ или $(1; -1)$.

в)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 5a + 2b = 15 \\ 8a + 3b = -1\end{cases}$
Применим метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:
$\begin{cases} 15a + 6b = 45 \\ -16a - 6b = 2\end{cases}$
Сложим уравнения почленно:
$(15a + 6b) + (-16a - 6b) = 45 + 2$
$-a = 47$
$a = -47$
Подставим найденное значение $a$ в первое исходное уравнение:
$5(-47) + 2b = 15$
$-235 + 2b = 15$
$2b = 15 + 235$
$2b = 250$
$b = 125$
Ответ: $a=-47, b=125$ или $(-47; 125)$.

г)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 5p - 4q = 3 \\ 2p - 3q = 11\end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4:
$\begin{cases} 15p - 12q = 9 \\ -8p + 12q = -44\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(15p - 12q) + (-8p + 12q) = 9 - 44$
$7p = -35$
$p = -5$
Подставим значение $p$ во второе исходное уравнение:
$2(-5) - 3q = 11$
$-10 - 3q = 11$
$-3q = 21$
$q = -7$
Ответ: $p=-5, q=-7$ или $(-5; -7)$.

д)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 8x - 2y = 14 \\ 9x + 4y = -3\end{cases}$
Применим метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$\begin{cases} 16x - 4y = 28 \\ 9x + 4y = -3\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(16x - 4y) + (9x + 4y) = 28 - 3$
$25x = 25$
$x = 1$
Подставим $x=1$ в первое исходное уравнение:
$8(1) - 2y = 14$
$8 - 2y = 14$
$-2y = 6$
$y = -3$
Ответ: $x=1, y=-3$ или $(1; -3)$.

е)Решим систему уравнений: $\begin{cases} 3y - z = 5 \\ 5y + 2z = 12\end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$\begin{cases} 6y - 2z = 10 \\ 5y + 2z = 12\end{cases}$
Сложим уравнения системы:
$(6y - 2z) + (5y + 2z) = 10 + 12$
$11y = 22$
$y = 2$
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение:
$3(2) - z = 5$
$6 - z = 5$
$-z = -1$
$z = 1$
Ответ: $y=2, z=1$ или $(2; 1)$.