Номер 648, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 648, страница 197.

Условие.

648 ИССЛЕДУЕМ 1) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются совпадающие прямые:

a) $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50. \end{cases}$

Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.

2) Убедитесь в том, что графической моделью каждой из данных систем являются параллельные прямые:

a) $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9. \end{cases}$

Сравните в каждой системе отношения коэффициентов при x, коэффициентов при y и свободных членов. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.

3) Дано уравнение $5x + y = 8$. Составьте ещё одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:

a) имеющую бесконечно много решений;

б) не имеющую решений.

4) Существует ли такое значение $a$, при котором система уравнений

$\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$

имеет бесконечно много решений? не имеет решений? Если существует, то укажите его.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются совпадающие прямые, можно привести каждое уравнение в системе к одинаковому виду. Если уравнения окажутся идентичными, то их графики совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

а) Рассматриваем систему $\begin{cases} 2x + 8y = 10 \\ 5x + 20y = 25 \end{cases}$.

Разделим первое уравнение на 2: $(2x + 8y) : 2 = 10 : 2$, что дает $x + 4y = 5$.

Разделим второе уравнение на 5: $(5x + 20y) : 5 = 25 : 5$, что дает $x + 4y = 5$.

Так как оба уравнения приводятся к виду $x + 4y = 5$, их графики совпадают. Теперь сравним отношения коэффициентов при $x$, $y$ и свободных членов: $\frac{2}{5}$, $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$, $\frac{10}{25} = \frac{2}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{2}{5} = \frac{8}{20} = \frac{10}{25}$.

б) Рассматриваем систему $\begin{cases} 4x - 12y = 40 \\ 5x - 15y = 50 \end{cases}$.

Разделим первое уравнение на 4: $(4x - 12y) : 4 = 40 : 4$, что дает $x - 3y = 10$.

Разделим второе уравнение на 5: $(5x - 15y) : 5 = 50 : 5$, что дает $x - 3y = 10$.

Оба уравнения идентичны, значит, их графики совпадают. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{4}{5}$, $\frac{-12}{-15} = \frac{4}{5}$, $\frac{40}{50} = \frac{4}{5}$. Все три отношения равны: $\frac{4}{5} = \frac{-12}{-15} = \frac{40}{50}$.

Признак: Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов равны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

2) Для того чтобы убедиться, что графической моделью каждой из систем являются параллельные прямые, можно выразить $y$ через $x$ в каждом уравнении (привести к виду $y = kx + b$) и сравнить их угловые коэффициенты $k$ и точки пересечения с осью y $b$. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью y различны ($b_1 \neq b_2$).

а) Рассматриваем систему $\begin{cases} 3x + 6y = -3 \\ 4x + 8y = 2 \end{cases}$.

Из первого уравнения: $6y = -3x - 3 \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$.

Из второго уравнения: $8y = -4x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$. Угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$.

Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Теперь сравним отношения коэффициентов: $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $\frac{-3}{2}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} \ne \frac{-3}{2}$.

б) Рассматриваем систему $\begin{cases} 6x + 2y = 1 \\ 9x + 3y = 9 \end{cases}$.

Из первого уравнения: $2y = -6x + 1 \implies y = -3x + \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент $k_1 = -3$.

Из второго уравнения: $3y = -9x + 9 \implies y = -3x + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -3$.

Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны. Сравним отношения коэффициентов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{9}$. Отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ne \frac{1}{9}$.

Признак: Система двух линейных уравнений с двумя переменными $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ не имеет решений тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$.

3) Дано уравнение $5x + y = 8$.

а) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому. Для этого умножим все члены данного уравнения на любое число, отличное от нуля, например, на 2. Получим: $2(5x + y) = 2 \cdot 8 \implies 10x + 2y = 16$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 16$.

б) Чтобы система не имела решений, коэффициенты при $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам первого, а свободный член — нет. Умножим левую часть на 2: $2(5x + y) = 10x + 2y$. Правая часть не должна быть равна $8 \cdot 2 = 16$. Возьмем любое другое число, например, 1. Получим: $10x + 2y = 1$. Ответ: Например, уравнение $10x + 2y = 1$.

4) Рассматривается система уравнений $\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 18 \end{cases}$.

Сравним отношения коэффициентов. Для этой системы $a_1 = a, b_1 = 3, c_1 = 6$ и $a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = 18$.

Найдем отношение коэффициентов при $y$ и отношение свободных членов:

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{1} = 3$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. Однако мы видим, что $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ (так как $3 \ne \frac{1}{3}$). Следовательно, ни при каком значении $a$ эта система не может иметь бесконечно много решений.

Для того чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$. Неравенство $\frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ уже выполняется. Остается найти $a$, при котором $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

$\frac{a}{2} = \frac{3}{1}$

Отсюда $a = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Значения $a$, при котором система имеет бесконечно много решений, не существует. Система не имеет решений при $a=6$.