Номер 634, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 634, страница 195.

Условие.

634 На рисунке 4.32 изображены прямые, проходящие через точку (2; 4). Какие системы двух уравнений с двумя переменными, имеющие решением пару чисел (2; 4), можно составить по этому рисунку? Запишите их все.

Рис. 4.32

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Задача 634

Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными является точка пересечения их графиков. На рисунке 4.32 показаны четыре прямые, которые все пересекаются в одной точке с координатами $(2; 4)$. Это означает, что пара чисел $(2; 4)$ является решением для каждого из четырех уравнений, графики которых изображены на рисунке.

Уравнения этих прямых:

• $x - y = -2$
• $x + y = 6$
• $2x - y = 0$
• $6x - y = 8$

Проверим, что точка $(2; 4)$ действительно удовлетворяет каждому уравнению:

• Для $x - y = -2$: $2 - 4 = -2$ (верно).
• Для $x + y = 6$: $2 + 4 = 6$ (верно).
• Для $2x - y = 0$: $2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$ (верно).
• Для $6x - y = 8$: $6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$ (верно).

Систему уравнений, имеющую решением пару чисел $(2; 4)$, можно составить, взяв любую пару из этих четырех уравнений. Число таких комбинаций равно $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$.

Ответ: можно составить 6 систем уравнений. Вот они:

1. $ \begin{cases} x - y = -2, \\ x + y = 6 \end{cases} $

2. $ \begin{cases} x - y = -2, \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

3. $ \begin{cases} x - y = -2, \\ 6x - y = 8 \end{cases} $

4. $ \begin{cases} x + y = 6, \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

5. $ \begin{cases} x + y = 6, \\ 6x - y = 8 \end{cases} $

6. $ \begin{cases} 2x - y = 0, \\ 6x - y = 8 \end{cases} $

Задача 635

Чтобы проверить, является ли пара чисел $(2; 8)$ решением системы, нужно подставить значения $x=2$ и $y=8$ в каждое уравнение системы. Если оба уравнения превратятся в верные числовые равенства, то пара является решением.

а) Проверим систему $ \begin{cases} 10x - y = 12 \\ x - y = 6 \end{cases} $ для пары чисел $(2; 8)$.

Подставим $x=2$ и $y=8$ в первое уравнение:
$10 \cdot 2 - 8 = 20 - 8 = 12$.
Получили $12 = 12$. Это верное равенство.

Подставим $x=2$ и $y=8$ во второе уравнение:
$2 - 8 = -6$.
Получили $-6 = 6$. Это неверное равенство.

Так как пара чисел $(2; 8)$ не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы.
Ответ: нет.

в) Проверим систему $ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ x + 2y = 18 \end{cases} $ для пары чисел $(2; 8)$.

Подставим $x=2$ и $y=8$ в первое уравнение:
$3 \cdot 2 + 8 = 6 + 8 = 14$.
Получили $14 = 14$. Это верное равенство.

Подставим $x=2$ и $y=8$ во второе уравнение:
$2 + 2 \cdot 8 = 2 + 16 = 18$.
Получили $18 = 18$. Это верное равенство.

Так как пара чисел $(2; 8)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.
Ответ: да.