Номер 4, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 4, страница 194.

Условие.

Какие вы можете предложить способы решения задачи: «Определите коор-динаты точки пересечения прямых $x + 2y = 8$ и $x - y = 4$»?

Решите задачу каждым из них. Одинаковы ли полученные результаты?

Решение 3.

Решение 4.

Для определения координат точки пересечения прямых, заданных уравнениями $x + 2y = 8$ и $x - y = 4$, необходимо решить систему линейных уравнений. Эту задачу можно решить несколькими способами, например: графическим, методом подстановки и методом алгебраического сложения.

Графический способ

Этот способ заключается в построении графиков обеих прямых в одной системе координат и нахождении точки их пересечения.
Сначала приведем уравнения к виду функции $y = kx + b$:
Для первого уравнения: $x + 2y = 8 \implies 2y = -x + 8 \implies y = -0.5x + 4$.
Для второго уравнения: $x - y = 4 \implies -y = -x + 4 \implies y = x - 4$.
Теперь построим графики этих функций. Для каждой прямой найдем по две точки:
Для прямой $y = -0.5x + 4$:
- если $x = 0$, то $y = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.
- если $y = 0$, то $0 = -0.5x + 4 \implies x=8$. Получаем точку $(8, 0)$.
Для прямой $y = x - 4$:
- если $x = 0$, то $y = -4$. Получаем точку $(0, -4)$.
- если $y = 0$, то $x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.
Построив эти прямые на координатной плоскости, мы найдем точку их пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы. В данном случае, точное считывание координат с графика может быть затруднено, так как они являются дробными числами. Однако, этот метод наглядно демонстрирует геометрический смысл решения системы.
Ответ: Координаты точки пересечения $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Способ подстановки

Этот алгебраический метод заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения в другое уравнение.
Исходная система: $ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = y + 4$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$(y + 4) + 2y = 8$
Решим полученное уравнение относительно $y$:
$3y + 4 = 8$
$3y = 8 - 4$
$3y = 4$
$y = \frac{4}{3}$
Теперь подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$x = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$
Ответ: Координаты точки пересечения $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Способ сложения

Этот алгебраический метод заключается в сложении или вычитании уравнений системы с целью исключения одной из переменных.
Исходная система:
$ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ x - y = 4 \end{cases} $
Чтобы исключить переменную $x$, вычтем второе уравнение из первого:
$(x + 2y) - (x - y) = 8 - 4$
$x + 2y - x + y = 4$
$3y = 4$
$y = \frac{4}{3}$
Теперь подставим найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$x - \frac{4}{3} = 4$
$x = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$
Ответ: Координаты точки пересечения $(\frac{16}{3}, \frac{4}{3})$.

Сравнивая результаты, полученные каждым из способов, можно сделать вывод, что все они приводят к одному и тому же ответу. Алгебраические методы (подстановки и сложения) дают точный результат, в то время как графический метод позволяет визуализировать решение, но его точность зависит от аккуратности построений. Таким образом, полученные результаты одинаковы.