Номер 3, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 4.4. Системы уравнений. Решение систем способом сложения. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 194.

Условие.

Как решают систему двух уравнений с двумя переменными способом сложения (фрагмент 2)? Какими могут быть первые шаги в решении систем $\begin{cases} 4x + y = -2 \\ 3x - y = -1 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ 2x - 5y = 20 \end{cases}$?

Решение 3.

Решение 4.

Метод сложения для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы преобразовать уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, а затем сложить эти уравнения. В результате получается одно уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Алгоритм решения системы уравнений методом сложения:

1. При необходимости умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $3x$ и $-3x$).
2. Сложить левые и правые части уравнений системы.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.
5. Записать ответ.

Рассмотрим, какими могут быть первые шаги при решении данных систем этим методом.

Для системы $\begin{cases} 4x + y = -2 \\ 3x - y = -1 \end{cases}$

Первым шагом анализируем коэффициенты при переменных $x$ и $y$. В данной системе мы видим, что коэффициенты при переменной $y$ равны $1$ и $-1$. Они уже являются противоположными числами.

Следовательно, нет необходимости умножать уравнения на какие-либо числа. Первый шаг в решении — это сложить два уравнения почленно, чтобы исключить переменную $y$.

$(4x + y) + (3x - y) = -2 + (-1)$

$7x = -3$

После этого шага мы получаем простое уравнение с одной переменной $x$, из которого можем найти ее значение.

Ответ: Первым шагом является сложение уравнений системы, так как коэффициенты при переменной $y$ уже являются противоположными числами ($1$ и $-1$).

Для системы $\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ 2x - 5y = 20 \end{cases}$

Анализируем коэффициенты в этой системе. Коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях одинаковы и равны $2$. Чтобы их можно было сократить при сложении, один из них должен стать $-2$.

Следовательно, первый шаг — это умножить одно из уравнений на $-1$. Например, умножим второе уравнение на $-1$:

$\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ -1 \cdot (2x - 5y) = -1 \cdot 20 \end{cases}$

Система примет вид:

$\begin{cases} 2x + 4y = 2 \\ -2x + 5y = -20 \end{cases}$

Теперь коэффициенты при $x$ стали противоположными ($2$ и $-2$), и следующим действием будет сложение уравнений:

$(2x + 4y) + (-2x + 5y) = 2 + (-20)$

$9y = -18$

Заметим, что умножение на $-1$ и последующее сложение эквивалентно вычитанию одного уравнения из другого.

Ответ: Первым шагом является умножение одного из уравнений (например, второго) на $-1$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными. Альтернативно, можно вычесть второе уравнение из первого.