Номер 710, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Системы уравнений - номер 710, страница 217.

Условие.

710 a) Можно ли двухрублёвыми и пятирублёвыми монетами платить за журнал 37 р. без сдачи? Если можно, то укажите эти способы.

б) В канцелярском магазине продают простые карандаши в коробках по 8 и по 12 карандашей. Маленькая коробка стоит 70 р., а большая — 90 р. Покупателю требуется ровно 100 простых карандашей. Сколько маленьких и сколько больших коробок ему надо купить, чтобы покупка была максимально выгодной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Да, можно заплатить 37 рублей двухрублёвыми и пятирублёвыми монетами без сдачи. Чтобы найти все способы, нужно решить в целых неотрицательных числах уравнение:

$2x + 5y = 37$

где $x$ — количество двухрублёвых монет, а $y$ — количество пятирублёвых монет.

Выразим $2x$ из уравнения: $2x = 37 - 5y$. Левая часть уравнения, $2x$, всегда является чётным числом. Следовательно, и правая часть, $37 - 5y$, должна быть чётной. Так как 37 — число нечётное, то для получения чётной разности необходимо, чтобы вычитаемое $5y$ также было нечётным. Произведение $5y$ будет нечётным только в том случае, если $y$ — нечётное число.

Будем перебирать возможные нечётные значения $y$, начиная с 1. Учтём, что $5y$ не может быть больше 37, поэтому $y \le 7$.

• Если $y = 1$: $2x = 37 - 5 \cdot 1 = 32$, отсюда $x = 16$. Способ 1: 16 двухрублёвых монет и 1 пятирублёвая монета.
• Если $y = 3$: $2x = 37 - 5 \cdot 3 = 22$, отсюда $x = 11$. Способ 2: 11 двухрублёвых монет и 3 пятирублёвые монеты.
• Если $y = 5$: $2x = 37 - 5 \cdot 5 = 12$, отсюда $x = 6$. Способ 3: 6 двухрублёвых монет и 5 пятирублёвых монет.
• Если $y = 7$: $2x = 37 - 5 \cdot 7 = 2$, отсюда $x = 1$. Способ 4: 1 двухрублёвая монета и 7 пятирублёвых монет.

Следующее нечётное значение $y=9$ даст $5 \cdot 9 = 45$, что больше 37, поэтому других решений нет.

Ответ: Да, можно. Существует 4 способа: 16 двухрублёвых и 1 пятирублёвая монета; 11 двухрублёвых и 3 пятирублёвые монеты; 6 двухрублёвых и 5 пятирублёвых монет; 1 двухрублёвая и 7 пятирублёвых монет.

б) Сначала найдём все возможные способы купить ровно 100 карандашей. Пусть $x$ — количество маленьких коробок (по 8 карандашей), а $y$ — количество больших коробок (по 12 карандашей). Составим уравнение:

$8x + 12y = 100$

где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа. Разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, равный 4:

$2x + 3y = 25$

Как и в предыдущей задаче, найдём решения, перебирая возможные значения $y$. Из уравнения $2x = 25 - 3y$ следует, что $25 - 3y$ должно быть чётным и неотрицательным. Это возможно, если $y$ — нечётное число и $3y \le 25$, то есть $y \le 8$.

Возможные комбинации $(x, y)$:

• Если $y = 1$: $2x = 25 - 3 = 22 \implies x = 11$. Комбинация: 11 маленьких, 1 большая коробка.
• Если $y = 3$: $2x = 25 - 9 = 16 \implies x = 8$. Комбинация: 8 маленьких, 3 большие коробки.
• Если $y = 5$: $2x = 25 - 15 = 10 \implies x = 5$. Комбинация: 5 маленьких, 5 больших коробок.
• Если $y = 7$: $2x = 25 - 21 = 4 \implies x = 2$. Комбинация: 2 маленькие, 7 больших коробок.

Теперь определим, какая из этих комбинаций является максимально выгодной, то есть имеет наименьшую стоимость. Стоимость $C$ рассчитывается по формуле:

$C = 70x + 90y$

Рассчитаем стоимость для каждого варианта:

• Вариант 1 ($x=11, y=1$): $C = 70 \cdot 11 + 90 \cdot 1 = 770 + 90 = 860$ р.
• Вариант 2 ($x=8, y=3$): $C = 70 \cdot 8 + 90 \cdot 3 = 560 + 270 = 830$ р.
• Вариант 3 ($x=5, y=5$): $C = 70 \cdot 5 + 90 \cdot 5 = 350 + 450 = 800$ р.
• Вариант 4 ($x=2, y=7$): $C = 70 \cdot 2 + 90 \cdot 7 = 140 + 630 = 770$ р.

Сравнив стоимости, видим, что минимальная составляет 770 рублей. Она соответствует покупке 2 маленьких и 7 больших коробок.

Ответ: Чтобы покупка была максимально выгодной, нужно купить 2 маленькие и 7 больших коробок.