Страница 297 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какова вероятность того, что при двух бросаниях монеты (см. пример 1):

а) хотя бы один раз выпадет решка;

б) ни разу не выпадет орёл;

в) монета дважды упадёт на одну и ту же сторону;

г) монета упадёт на разные стороны?

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы при двух бросаниях монеты. Обозначим выпадение орла буквой "О", а решки — буквой "Р". При двух бросках существует 4 равновероятных исхода:

(О, О) — оба раза выпал орёл;
(О, Р) — первый раз орёл, второй — решка;
(Р, О) — первый раз решка, второй — орёл;
(Р, Р) — оба раза выпала решка.

Общее число возможных исходов $n = 4$. Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

а) хотя бы один раз выпадет решка;
Событию "хотя бы один раз выпадет решка" благоприятствуют исходы, в которых есть хотя бы одна буква "Р". Это исходы: (О, Р), (Р, О), (Р, Р).
Число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

б) ни разу не выпадет орёл;
Событие "ни разу не выпадет орёл" означает, что оба раза выпала решка. Этому событию благоприятствует только один исход: (Р, Р).
Число благоприятных исходов $m = 1$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

в) монета дважды упадёт на одну и ту же сторону;
Событию "монета дважды упадёт на одну и ту же сторону" благоприятствуют исходы, где обе буквы одинаковы: (О, О) и (Р, Р).
Число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) монета упадёт на разные стороны?
Событию "монета упадёт на разные стороны" благоприятствуют исходы, где буквы разные: (О, Р) и (Р, О).
Число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

Используя таблицу из примера 2, выясните, какова вероятность того, что:

а) на кубиках выпадает одинаковое число очков;

б) на белом кубике выпадает больше очков, чем на чёрном;

в) на белом кубике выпадает не меньше очков, чем на чёрном.

Для решения задачи будем исходить из того, что при броске двух шестигранных кубиков (предположим, один белый, а другой чёрный) существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Каждый исход можно представить в виде пары чисел (очки на чёрном кубике, очки на белом кубике). Общее число всех возможных исходов $N = 36$. Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) на кубиках выпадет одинаковое число очков;

Благоприятными являются исходы, когда на обоих кубиках выпадает одинаковое значение. Такими исходами являются пары: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).

Число благоприятных исходов $m = 6$.

Вероятность этого события равна:

$P(а) = \frac{m}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) на белом кубике выпадет больше очков, чем на чёрном;

Посчитаем количество исходов, при которых значение на белом кубике строго больше, чем на чёрном. Перечислим их в зависимости от результата на чёрном кубике:

- если на чёрном 1, на белом может быть 2, 3, 4, 5, 6 (5 исходов);
- если на чёрном 2, на белом может быть 3, 4, 5, 6 (4 исхода);
- если на чёрном 3, на белом может быть 4, 5, 6 (3 исхода);
- если на чёрном 4, на белом может быть 5, 6 (2 исхода);
- если на чёрном 5, на белом может быть 6 (1 исход);
- если на чёрном 6, таких исходов нет (0 исходов).

Общее число благоприятных исходов $m = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15$.

Вероятность этого события равна:

$P(б) = \frac{m}{N} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

в) на белом кубике выпадет не меньше очков, чем на чёрном.

Выражение «не меньше» означает «больше или равно». Это событие включает в себя два непересекающихся случая: 1) на белом кубике выпало больше очков, чем на чёрном; 2) на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Количество исходов для первого случая мы нашли в пункте б), оно равно 15. Количество исходов для второго случая мы нашли в пункте а), оно равно 6.

Суммарное число благоприятных исходов $m = 15 + 6 = 21$.

Вероятность этого события равна:

$P(в) = \frac{m}{N} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.

Являются ли события $A$ и $B$ противоположными (см. пример 3)?

Для того чтобы ответить на вопрос, являются ли события A и B противоположными, необходимо сначала вспомнить определение противоположных событий. События A и B называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу. Это означает, что в результате испытания одно из этих событий обязательно происходит, а другое — нет. Противоположное событие для A обычно обозначают как $\overline{A}$.

Таким образом, для того чтобы события $A$ и $B$ были противоположными, они должны одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Несовместность: События A и B не могут произойти одновременно. Их пересечение является пустым множеством: $A \cap B = \emptyset$.
2. Полнота: Объединение событий A и B составляет всё пространство элементарных исходов $\Omega$. Это значит, что в результате эксперимента обязательно произойдёт либо событие A, либо событие B: $A \cup B = \Omega$.

Рассмотрим несколько конкретных случаев, чтобы применить это определение.

а) Эксперимент: бросание игрального кубика. Событие A — «выпало чётное число очков», событие B — «выпало нечётное число очков».

Пространство элементарных исходов (все возможные результаты) для броска кубика: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Множество исходов, благоприятствующих событию A (выпало чётное число): $A = \{2, 4, 6\}$.
Множество исходов, благоприятствующих событию B (выпало нечётное число): $B = \{1, 3, 5\}$.

Проверим условия для противоположных событий:
1. Несовместность: Число на кубике не может быть одновременно и чётным, и нечётным. Следовательно, события A и B не могут произойти одновременно. Их пересечение пусто: $A \cap B = \emptyset$. Условие выполнено.
2. Полнота: Объединение множеств исходов для A и B: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Это множество совпадает со всем пространством элементарных исходов $\Omega$. Значит, при любом броске кубика обязательно произойдет либо событие A, либо событие B. Условие выполнено.

Так как оба условия выполняются, события A и B являются противоположными.
Ответ: да, являются.

б) Эксперимент: из колоды в 36 карт вынимают одну карту. Событие A — «вынутая карта — туз», событие B — «вынутая карта — не туз».

Пространство элементарных исходов $\Omega$ — это все 36 карт в колоде.
Событие A: вынута одна из 4 карт-тузов.
Событие B: вынута любая из оставшихся 32 карт (не тузов).

Проверим условия:
1. Несовместность: Карта не может быть одновременно и тузом, и не тузом. События несовместны. $A \cap B = \emptyset$. Условие выполнено.
2. Полнота: Любая вынутая из колоды карта будет либо тузом, либо не тузом. Других вариантов нет. Следовательно, объединение этих событий покрывает все возможные исходы. $A \cup B = \Omega$. Условие выполнено.

События A и B являются противоположными.
Ответ: да, являются.

в) Эксперимент: бросание игрального кубика. Событие A — «выпало число очков больше 3», событие B — «выпало число очков меньше 3».

Пространство элементарных исходов: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Множество исходов для события A (число > 3): $A = \{4, 5, 6\}$.
Множество исходов для события B (число < 3): $B = \{1, 2\}$.

Проверим условия:
1. Несовместность: Число не может быть одновременно больше 3 и меньше 3. $A \cap B = \emptyset$. Условие выполнено.
2. Полнота: Объединение исходов $A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6\}$. Этот набор не включает исход «выпало 3 очка». Если выпадет тройка, то не произойдёт ни событие A, ни событие B. Таким образом, $A \cup B \neq \Omega$. Условие не выполняется.

Поскольку второе условие не выполнено, события A и B не являются противоположными. Противоположным событию A («выпало > 3») является событие $\overline{A}$ («выпало $\leq$ 3»), то есть исходы $\{1, 2, 3\}$.
Ответ: нет, не являются.

г) Эксперимент: два стрелка стреляют по мишени. Событие A — «оба попали», событие B — «оба промахнулись».

Обозначим исходы для каждого стрелка: П - попал, М - промахнулся. Пространство элементарных исходов для двух стрелков: $\Omega = \{ПП, ПМ, МП, ММ\}$.
Событие A (оба попали) соответствует исходу: $A = \{ПП\}$.
Событие B (оба промахнулись) соответствует исходу: $B = \{ММ\}$.

Проверим условия:
1. Несовместность: События A и B не могут произойти одновременно. $A \cap B = \emptyset$. Условие выполнено.
2. Полнота: Объединение исходов $A \cup B = \{ПП, ММ\}$. Этот набор не включает исходы ПМ (первый попал, второй промахнулся) и МП (первый промахнулся, второй попал). Если произойдет один из этих исходов, то не наступит ни событие A, ни событие B. Таким образом, $A \cup B \neq \Omega$. Условие не выполняется.

События A и B не являются противоположными, они лишь несовместны.
Ответ: нет, не являются.

Чему равна в примере 3 вероятность следующих событий:

C: хотя бы на двух кубиках выпавшее число очков различно;

D: хотя бы на двух кубиках выпавшее число очков совпало?

Для решения задачи предположим, что речь идет о классическом эксперименте с подбрасыванием двух стандартных шестигранных игральных кубиков. Каждый кубик может выпасть одной из шести граней (от 1 до 6). Общее число всех равновозможных исходов при броске двух кубиков составляет $N = 6 \times 6 = 36$.

C: хотя бы на двух кубиках выпавшее число очков различно;

Событие C заключается в том, что на двух кубиках выпадут разные числа. Проще найти вероятность противоположного события (назовем его $\overline{C}$), которое заключается в том, что на обоих кубиках выпадет одинаковое число очков. Это событие совпадает с событием D.
Количество исходов, благоприятствующих событию $\overline{C}$ (когда числа совпадают), равно 6. Это пары: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).
Вероятность события $\overline{C}$ равна $P(\overline{C}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
События C и $\overline{C}$ являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1: $P(C) + P(\overline{C}) = 1$.
Отсюда можем найти вероятность события C:
$P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Альтернативный способ:
Можно напрямую посчитать количество благоприятных исходов для события C. Если на первом кубике выпало любое из 6 чисел, то на втором кубике должно выпасть любое из оставшихся 5 чисел. Таким образом, число благоприятных исходов $m_C = 6 \times 5 = 30$.
Тогда вероятность $P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $P(C) = \frac{5}{6}$

D: хотя бы на двух кубиках выпавшее число очков совпало?

Событие D заключается в том, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.
Найдем количество исходов, благоприятствующих этому событию ($m_D$). Это исходы, где результат на первом кубике равен результату на втором:
(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).
Всего таких исходов $m_D = 6$.
Вероятность события D вычисляется по классической формуле вероятности: $P(D) = \frac{m_D}{N}$.
$P(D) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $P(D) = \frac{1}{6}$

Проверьте истинность утверждения «В каждом эксперименте сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1» для всех экспериментов, описанных в пунктах 6.2 и 6.3.

Данное утверждение является одной из фундаментальных аксиом теории вероятностей (аксиома нормировки). Она гласит, что вероятность достоверного события (то есть наступления хотя бы одного из всех возможных элементарных событий в рамках одного эксперимента) равна 1. Проверим истинность этого утверждения для двух разных гипотетических экспериментов, которые могли бы быть описаны в указанных пунктах.

Пункт 6.2

Предположим, что эксперимент заключается в однократном бросании стандартного шестигранного игрального кубика. Элементарными событиями в этом случае являются исходы, при которых выпадает определённое количество очков.

Пространство элементарных событий $ \Omega $ состоит из 6 исходов: $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Поскольку кубик является правильным (симметричным), все исходы равновероятны. Вероятность каждого элементарного события $ P(E_i) $ вычисляется как отношение одного благоприятного исхода к общему числу исходов (которое равно 6):

$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$

Сумма вероятностей всех элементарных событий для этого эксперимента равна:

$P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$

Сумма вероятностей равна 1, следовательно, утверждение для данного эксперимента является истинным.

Ответ: Утверждение истинно.

Пункт 6.3

Предположим, что эксперимент заключается в извлечении одного шара из урны, в которой находятся 3 белых, 5 красных и 2 черных шара. Всего в урне $3 + 5 + 2 = 10$ шаров.

Элементарными событиями являются: $E_Б$ – «извлечен белый шар», $E_К$ – «извлечен красный шар», $E_Ч$ – «извлечен черный шар». В отличие от предыдущего примера, эти события не являются равновероятными.

Вероятность каждого события вычисляется по классической формуле вероятности $ P = \frac{m}{n} $, где $m$ – число благоприятствующих исходов, а $n$ – общее число исходов.

Вероятность извлечь белый шар: $P(E_Б) = \frac{3}{10}$

Вероятность извлечь красный шар: $P(E_К) = \frac{5}{10}$

Вероятность извлечь черный шар: $P(E_Ч) = \frac{2}{10}$

Найдем сумму вероятностей всех элементарных событий:

$P(E_Б) + P(E_К) + P(E_Ч) = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3+5+2}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Сумма вероятностей также равна 1, следовательно, утверждение и для этого эксперимента является истинным.

Ответ: Утверждение истинно.