Страница 301 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

897 Фигура Ф задана на координатной плоскости следующими условиями: $|x| \le 5$ и $|y| \le 5$. Известно, что центр квадрата со сторонами, параллельными осям координат, принадлежит фигуре Ф. Сторона квадрата равна 2. Какова вероятность того, что квадрат целиком содержится в фигуре Ф?

Указание. Фигура Ф – это квадрат со стороной 10 и центром в начале координат. Квадрат не будет содержаться в фигуре Ф целиком, если расстояние от его центра до границ фигуры Ф меньше 1. Покажите штриховкой часть фигуры Ф, соответствующую благоприятным исходам.

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры области благоприятных исходов (в данном случае, площади) к мере области всех возможных исходов.

1. Определение области всех возможных исходов

Фигура Ф задана на координатной плоскости условиями $|x| \le 5$ и $|y| \le 5$. Это квадрат с центром в начале координат $(0, 0)$ и вершинами в точках $(5, 5)$, $(-5, 5)$, $(-5, -5)$ и $(5, -5)$. Сторона этого квадрата равна $5 - (-5) = 10$. Поскольку центр искомого квадрата принадлежит фигуре Ф, область всех возможных положений его центра совпадает с фигурой Ф. Площадь области всех возможных исходов $S_{общ}$ равна площади фигуры Ф: $S_{общ} = 10 \times 10 = 100$.

2. Определение области благоприятных исходов

Благоприятным исходом является такое положение малого квадрата, при котором он целиком содержится в фигуре Ф. Пусть центр малого квадрата имеет координаты $(x_c, y_c)$. Сторона малого квадрата равна 2, а его стороны параллельны осям координат. Это означает, что координаты любой точки $(x, y)$ внутри этого малого квадрата удовлетворяют неравенствам: $x_c - 1 \le x \le x_c + 1$ и $y_c - 1 \le y \le y_c + 1$. Чтобы малый квадрат целиком содержался в фигуре Ф, все его точки должны удовлетворять условиям $|x| \le 5$ и $|y| \le 5$. Это требование должно выполняться для крайних точек малого квадрата. Для координаты $x$ должны выполняться неравенства: $x_c + 1 \le 5 \implies x_c \le 4$ $x_c - 1 \ge -5 \implies x_c \ge -4$ Таким образом, координата центра $x_c$ должна лежать в диапазоне $-4 \le x_c \le 4$, или $|x_c| \le 4$. Аналогично для координаты $y$: $y_c + 1 \le 5 \implies y_c \le 4$ $y_c - 1 \ge -5 \implies y_c \ge -4$ Таким образом, координата центра $y_c$ должна лежать в диапазоне $-4 \le y_c \le 4$, или $|y_c| \le 4$. Область благоприятных исходов для положения центра $(x_c, y_c)$ — это множество точек, удовлетворяющих условиям $|x_c| \le 4$ и $|y_c| \le 4$. Это квадрат с центром в начале координат и стороной $4 - (-4) = 8$. Площадь этой области благоприятных исходов $S_{бл}$ равна: $S_{бл} = 8 \times 8 = 64$.

3. Изображение и вычисление вероятности

Часть фигуры Ф, соответствующая благоприятным исходам (которую следует показать штриховкой), — это квадрат с центром в начале координат и вершинами в точках $(4, 4), (-4, 4), (-4, -4)$ и $(4, -4)$. Он находится внутри большого квадрата Ф.

Вероятность $P$ того, что квадрат целиком содержится в фигуре Ф, равна отношению площади области благоприятных исходов к общей площади:

$P

898 На стадионе «Локомотив» была зафиксирована следующая посещаемость четырёх футбольных матчей: 24 000, 18 000, 22 000, 24 000 зрителей.

а) Каково было среднее арифметическое посещаемости этих матчей?

б) Сколько зрителей должно посетить следующий матч, чтобы среднее арифметическое посещаемости выросло?

а) Каково было среднее арифметическое посещаемости этих матчей?

Среднее арифметическое находится путем деления суммы всех значений на их количество. В задаче даны данные о посещаемости четырёх матчей: 24 000, 18 000, 22 000 и 24 000 зрителей.

1. Сначала найдем общую сумму всех зрителей, посетивших четыре матча:
$24000 + 18000 + 22000 + 24000 = 88000$ зрителей.

2. Теперь разделим полученную сумму на количество матчей, то есть на 4:
$S_{ср} = 88000 / 4 = 22000$ зрителей.

Ответ: среднее арифметическое посещаемости этих матчей составило 22 000 зрителей.

б) Сколько зрителей должно посетить следующий матч, чтобы среднее арифметическое посещаемости выросло?

Чтобы среднее арифметическое значение увеличилось при добавлении нового элемента в набор данных, этот новый элемент должен быть больше текущего среднего арифметического.

Текущее среднее арифметическое за четыре матча составляет 22 000 зрителей.

Пусть $x$ — количество зрителей на пятом, следующем матче. Чтобы новое среднее арифметическое для пяти матчей было больше, чем 22 000, значение $x$ должно быть больше 22 000.

Проверим это с помощью неравенства. Новое среднее для пяти матчей должно быть больше старого среднего:

$(24000 + 18000 + 22000 + 24000 + x) / 5 > 22000$

$(88000 + x) / 5 > 22000$

Умножим обе части неравенства на 5:

$88000 + x > 110000$

Вычтем 88 000 из обеих частей:

$x > 110000 - 88000$

$x > 22000$

Таким образом, чтобы средняя посещаемость выросла, на следующий матч должно прийти больше 22 000 зрителей (например, 22 001 или больше).

Ответ: следующий матч должно посетить больше 22 000 зрителей.

899 В таблице приведены данные о возрастном составе участников детского хора:

Найдите среднее арифметическое, моду и медиану возрастов участников хора.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое – это сумма всех значений, разделенная на их количество. Для нахождения среднего арифметического возраста участников хора необходимо вычислить взвешенное среднее.

1. Найдем общее число участников хора ($N$), сложив значения из второй строки таблицы:
$N = 3 + 6 + 5 + 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 25$
Всего в хоре 25 участников.

2. Найдем суммарный возраст всех участников ($S$), умножив каждый возраст на соответствующее число участников и сложив полученные произведения:
$S = (7 \cdot 3) + (8 \cdot 6) + (9 \cdot 5) + (10 \cdot 1) + (11 \cdot 2) + (12 \cdot 3) + (13 \cdot 2) + (14 \cdot 2) + (15 \cdot 1)$
$S = 21 + 48 + 45 + 10 + 22 + 36 + 26 + 28 + 15 = 251$

3. Разделим суммарный возраст на общее число участников:
$\text{Среднее арифметическое} = \frac{S}{N} = \frac{251}{25} = 10,04$

Ответ: 10,04.

Мода

Мода – это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В данном случае, это возраст, который имеют наибольшее число участников.

1. Рассматриваем строку "Число участников": 3, 6, 5, 1, 2, 3, 2, 2, 1.

2. Наибольшее значение в этой строке – 6.

3. Это значение соответствует возрасту 8 лет в первой строке таблицы.

Ответ: 8 лет.

Медиана

Медиана – это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части.

1. Общее число участников $N=25$. Так как число участников нечетное, медианой будет возраст участника, который находится в середине упорядоченного по возрастанию списка.

2. Номер этого участника в списке находится по формуле $\frac{N+1}{2}$:
$\frac{25+1}{2} = \frac{26}{2} = 13$
Следовательно, медиана – это возраст 13-го участника.

3. Найдем возраст 13-го участника, используя кумулятивную (накопленную) частоту:
- Возраст 7 лет: 3 участника (с 1-го по 3-й).
- Возраст 8 лет: 6 участников (с 4-го по 9-й). Накопленная частота: $3+6=9$.
- Возраст 9 лет: 5 участников (с 10-го по 14-й). Накопленная частота: $9+5=14$.
13-й участник попадает в группу девятилетних.

Ответ: 9 лет.