Страница 303 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

буква «о»?

907 На стол выложили костяшки домино, перевернув их очками вниз; всего 28 штук. Наугад берут одну из них.

1) Какова вероятность того, что:

а) взятая костяшка содержит 6 очков;

б) взятая костяшка не содержит 1 очко;

в) сумма очков на костяшке равна 5?

2) Докажите, что равновероятны события:

А: взятая костяшка, на которой есть 4 очка;

В: взятая костяшка, на которой есть 5 очков.

В стандартном наборе домино 28 костяшек. Общее число возможных исходов при вытягивании одной костяшки наугад равно $n = 28$. Вероятность любого события A вычисляется по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов.

1) Какова вероятность того, что:

а) взятая костяшка содержит 6 очков;

Найдем число костяшек, у которых на одной из половинок есть 6 очков. Это следующие костяшки: (0, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6). Всего таких костяшек 7. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 7$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) взятая костяшка не содержит 1 очко;

Найдем сначала количество костяшек, которые содержат 1 очко. Это костяшки: (0, 1), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6). Таких костяшек 7. Значит, количество костяшек, которые не содержат 1 очко, равно общему числу костяшек минус те, что содержат единицу: $28 - 7 = 21$. Число благоприятных исходов $m = 21$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) сумма очков на костяшке равна 5?

Найдем костяшки, у которых сумма очков на двух половинках равна 5. Это следующие пары: 0+5 (костяшка 0-5), 1+4 (костяшка 1-4), 2+3 (костяшка 2-3). Всего таких костяшек 3. Число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{28}$.
Ответ: $\frac{3}{28}$.

2) Докажите, что равновероятны события:
A: взята костяшка, на которой есть 4 очка;
B: взята костяшка, на которой есть 5 очков.

События называются равновероятными, если их вероятности равны. Чтобы доказать это, нужно вычислить вероятность каждого события и сравнить их.

Найдем вероятность события A. Благоприятными исходами являются все костяшки, содержащие 4 очка: (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 5), (4, 6). Количество таких костяшек $m_A = 7$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Найдем вероятность события B. Благоприятными исходами являются все костяшки, содержащие 5 очков: (0, 5), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (5, 6). Количество таких костяшек $m_B = 7$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Так как $P(A) = P(B) = \frac{1}{4}$, то события A и B являются равновероятными.
Ответ: Вероятность события A равна $P(A) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$. Вероятность события B равна $P(B) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$. Поскольку вероятности событий равны, они являются равновероятными.

908 1) Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми будет разыгран главный приз. Какова вероятность того, что счастливый номер оканчивается:

a) цифрой 3; б) цифрой 9?

2) У Маши пригласительный билет с номером 33, а у Саши — с номером 99. Верно ли, что у Маши больше шансов получить главный приз, чем у Саши?

1) Для решения этой части задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = m/N$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Всего для новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных билетов. Это означает, что общее число равновозможных исходов $N = 125$.

а) Какова вероятность того, что счастливый номер оканчивается цифрой 3?

Сначала нам нужно найти количество благоприятных исходов ($m$) — то есть, сосчитать, сколько чисел от 1 до 125 оканчиваются на цифру 3. Выпишем эти числа: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, 123. Всего таких чисел 13. Таким образом, $m = 13$.

Теперь мы можем рассчитать вероятность: $P(\text{оканчивается на 3}) = m/N = 13/125$.

Ответ: $13/125$.

б) Какова вероятность того, что счастливый номер оканчивается цифрой 9?

Аналогично предыдущему пункту, найдем количество чисел от 1 до 125, которые оканчиваются на цифру 9. Выпишем их: 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119. Всего таких чисел 12. Таким образом, $m = 12$.

Рассчитаем вероятность этого события: $P(\text{оканчивается на 9}) = m/N = 12/125$.

Ответ: $12/125$.

2) У Маши пригласительный билет с номером 33, а у Саши — с номером 99. Верно ли, что у Маши больше шансов получить главный приз, чем у Саши?

Розыгрыш приза проводится случайным образом среди всех 125 билетов. Это означает, что каждый отдельный билет имеет равные шансы на выигрыш. Вероятность выигрыша для любого конкретного билета равна $1/N$, то есть $1/125$.

Вероятность того, что выиграет билет Маши (№33), составляет $P(\text{Маша}) = 1/125$.

Вероятность того, что выиграет билет Саши (№99), также составляет $P(\text{Саша}) = 1/125$.

Сравнивая вероятности, мы видим, что $1/125 = 1/125$. Следовательно, шансы Маши и Саши на получение главного приза абсолютно одинаковы. Утверждение, что у Маши больше шансов, неверно.

Ответ: Нет, не верно. Шансы Маши и Саши на выигрыш равны.

909 В урне находятся белые и синие шары, одинаковые на ощупь, всего 20 штук. Вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым, составляет 0,35. Сколько в урне синих шаров?

Пусть $N$ — общее количество шаров в урне, $N_{бел}$ — количество белых шаров, а $N_{син}$ — количество синих шаров.

Согласно условию задачи, всего в урне 20 шаров, то есть $N = 20$.

Вероятность события по классическому определению вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. В данном случае, вероятность вынуть белый шар $P(бел)$ равна: $P(бел) = \frac{N_{бел}}{N}$

По условию, вероятность вынуть белый шар составляет 0,35. Подставим известные значения в формулу: $0,35 = \frac{N_{бел}}{20}$

Из этого уравнения найдем количество белых шаров: $N_{бел} = 0,35 \cdot 20$ $N_{бел} = 7$

Таким образом, в урне находится 7 белых шаров.

Поскольку в урне находятся только белые и синие шары, общее количество шаров равно сумме количеств белых и синих шаров: $N = N_{бел} + N_{син}$

Теперь мы можем найти количество синих шаров, подставив известные значения: $20 = 7 + N_{син}$

$N_{син} = 20 - 7$ $N_{син} = 13$

Следовательно, в урне находится 13 синих шаров.

Ответ: 13

910 Ищем закономерность

1) В корзине яблоко и груша. Из неё наугад вынимают один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

2) В корзине 2 яблока и груша. Из неё наугад вынимают один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

3) В корзине 3 яблока и груша. Из неё наугад вынимают один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

4) В корзине $n$ яблок и груша. Из неё наугад вынимают один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

Указание. В задачах 1—3 подсчитайте число всех возможных исходов, не забыв при этом, что каждое яблоко надо учитывать отдельно. Чтобы ответить на вопрос задачи 4, нужно подметить закономерность.

1) В корзине находится 1 яблоко и 1 груша. Общее число фруктов, а значит и общее число равновозможных исходов ($N$), равно $1 + 1 = 2$. Благоприятным исходом является выбор яблока. Так как в корзине 1 яблоко, то число благоприятных исходов ($m$) равно 1. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{N} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) В корзине находятся 2 яблока и 1 груша. Общее число фруктов (общее число исходов $N$) равно $2 + 1 = 3$. Число благоприятных исходов (выбор яблока) $m$ равно 2, так как в корзине 2 яблока. Вероятность того, что вытащат яблоко, равна: $P = \frac{m}{N} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) В корзине находятся 3 яблока и 1 груша. Общее число фруктов (общее число исходов $N$) равно $3 + 1 = 4$. Число благоприятных исходов (выбор яблока) $m$ равно 3. Вероятность того, что вытащат яблоко, равна: $P = \frac{m}{N} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

4) Проанализировав решения предыдущих пунктов, можно заметить закономерность: вероятность вытащить яблоко в каждом случае равна дроби, где в числителе стоит количество яблок, а в знаменателе — общее количество фруктов.Для случая, когда в корзине $n$ яблок и 1 груша, общее количество фруктов (общее число исходов $N$) будет $n + 1$. Количество яблок (число благоприятных исходов $m$) равно $n$.Следовательно, вероятность вытащить яблоко вычисляется по той же формуле: $P = \frac{m}{N} = \frac{n}{n+1}$.
Ответ: $\frac{n}{n+1}$