Страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

885 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Верно ли, что события $A$ и $B$ равновероятны:

$A$: дважды выпал орёл;

$B$: один раз выпал орёл, один раз выпала решка;

$A$: сумма очков на кубиках чётна;

$B$: сумма очков на кубиках нечётна;

$A$: сумма очков на кубиках больше 10;

$B$: сумма очков на кубиках меньше 5?

а) Для того чтобы определить, равновероятны ли события, найдём вероятность каждого из них. При одновременном бросании двух монет существует 4 равновозможных исхода. Обозначим орла как «О», а решку как «Р».
Все возможные исходы: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р).
Событие А, «дважды выпал орёл», наступает только в одном случае: (О, О).
Число благоприятных исходов для события А равно $m_A = 1$.
Вероятность события А: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{1}{4}$.
Событие В, «один раз выпал орёл, один раз выпала решка», наступает в двух случаях: (О, Р) и (Р, О).
Число благоприятных исходов для события B равно $m_B = 2$.
Вероятность события В: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $P(A) = \frac{1}{4}$, а $P(B) = \frac{1}{2}$, то $P(A) \neq P(B)$. Следовательно, события не являются равновероятными.
Ответ: неверно.

б) При одновременном бросании двух игральных кубиков общее число равновозможных исходов равно $n = 6 \times 6 = 36$.
Событие А: «сумма очков на кубиках чётна». Сумма двух чисел чётна, если оба числа чётные или оба нечётные.
На каждом кубике 3 чётных числа (2, 4, 6) и 3 нечётных (1, 3, 5).
- Количество исходов, где оба числа чётные: $3 \times 3 = 9$.
- Количество исходов, где оба числа нечётные: $3 \times 3 = 9$.
Число благоприятных исходов для события А: $m_A = 9 + 9 = 18$.
Вероятность события А: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Событие В: «сумма очков на кубиках нечётна». Сумма двух чисел нечётна, если одно число чётное, а другое нечётное.
- Количество исходов, где первое число чётное, а второе нечётное: $3 \times 3 = 9$.
- Количество исходов, где первое число нечётное, а второе чётное: $3 \times 3 = 9$.
Число благоприятных исходов для события B: $m_B = 9 + 9 = 18$.
Вероятность события В: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$, события А и В равновероятны.
Ответ: верно.

в) При одновременном бросании двух игральных кубиков общее число равновозможных исходов равно $n = 36$.
Событие А: «сумма очков на кубиках больше 10». Это означает, что сумма равна 11 или 12.
- Сумма 11: (5, 6), (6, 5) — 2 исхода.
- Сумма 12: (6, 6) — 1 исход.
Число благоприятных исходов для события А: $m_A = 2 + 1 = 3$.
Вероятность события А: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
Событие В: «сумма очков на кубиках меньше 5». Это означает, что сумма равна 2, 3 или 4.
- Сумма 2: (1, 1) — 1 исход.
- Сумма 3: (1, 2), (2, 1) — 2 исхода.
- Сумма 4: (1, 3), (3, 1), (2, 2) — 3 исхода.
Число благоприятных исходов для события B: $m_B = 1 + 2 + 3 = 6$.
Вероятность события В: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Поскольку $P(A) = \frac{1}{12}$, а $P(B) = \frac{1}{6}$, то $P(A) \neq P(B)$. Следовательно, события не являются равновероятными.
Ответ: неверно.

886 а) Какова вероятность того, что при двух бросаниях игрального кубика в сумме выпадет 2 очка; 3 очка; 4 очка; 10 очков; 11 очков; 12 очков?

б) Даша и Маша бросают игральные кубики: Даша — чёрный, Маша — белый. Они договорились, что если сумма очков на кубиках окажется равной шести, то выигрывает Даша, а если сумма очков будет равна восьми, то выигрывает Маша. Справедлива ли эта игра или у одной из девочек шансов на выигрыш больше?

а)

При бросании двух игральных кубиков общее число возможных исходов равно произведению числа исходов для каждого кубика. У каждого кубика 6 граней (от 1 до 6), поэтому общее число равноправных исходов $n$ равно $6 \times 6 = 36$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ - общее число исходов, а $m$ - число благоприятных исходов.

Найдем число благоприятных исходов ($m$) и вероятность ($P$) для каждой суммы:

- Сумма 2 очка: Есть только один способ получить 2: (1, 1). Таким образом, $m = 1$.
Вероятность: $P(2) = \frac{1}{36}$.

- Сумма 3 очка: Есть два способа получить 3: (1, 2) и (2, 1). Таким образом, $m = 2$.
Вероятность: $P(3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

- Сумма 4 очка: Есть три способа получить 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1). Таким образом, $m = 3$.
Вероятность: $P(4) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

- Сумма 10 очков: Есть три способа получить 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4). Таким образом, $m = 3$.
Вероятность: $P(10) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

- Сумма 11 очков: Есть два способа получить 11: (5, 6), (6, 5). Таким образом, $m = 2$.
Вероятность: $P(11) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

- Сумма 12 очков: Есть только один способ получить 12: (6, 6). Таким образом, $m = 1$.
Вероятность: $P(12) = \frac{1}{36}$.

Ответ: Вероятность выпадения 2 очков: $\frac{1}{36}$; 3 очков: $\frac{1}{18}$; 4 очков: $\frac{1}{12}$; 10 очков: $\frac{1}{12}$; 11 очков: $\frac{1}{18}$; 12 очков: $\frac{1}{36}$.

б)

Чтобы определить, справедлива ли игра, нужно сравнить вероятности выигрыша для Даши и Маши. Игра считается справедливой, если шансы (вероятности) на выигрыш у участников равны. Общее число исходов при бросании двух кубиков, как и в пункте а), равно 36.

Даша выигрывает, если сумма очков на кубиках равна 6. Найдем все комбинации, дающие в сумме 6:
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).
Всего 5 благоприятных исходов для Даши. Вероятность ее выигрыша составляет:
$P(\text{Даша}) = \frac{5}{36}$.

Маша выигрывает, если сумма очков равна 8. Найдем все комбинации, дающие в сумме 8:
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2).
Всего 5 благоприятных исходов для Маши. Вероятность ее выигрыша составляет:
$P(\text{Маша}) = \frac{5}{36}$.

Сравниваем вероятности выигрыша: $P(\text{Даша}) = \frac{5}{36}$ и $P(\text{Маша}) = \frac{5}{36}$. Поскольку вероятности равны, шансы на выигрыш у девочек одинаковые.

Ответ: Игра справедлива, так как шансы на выигрыш у Даши и Маши равны.

887 Чемодан открывается кодом 710. Цифра каждого из трёх разрядов при наборе кода может быть любой от 0 до 9. Рассеянный человек забыл код своего чемодана. Сколько попыток в худшем случае ему придётся сделать, чтобы открыть свой чемодан? Какова вероятность того, что, набрав произвольно номер из трёх цифр, он сможет сразу открыть чемодан?

Сколько попыток в худшем случае ему придётся сделать, чтобы открыть свой чемодан?

Кодовый замок на чемодане состоит из трёх разрядов. Для каждого разряда можно выбрать любую цифру от 0 до 9. Это означает, что для каждой из трёх позиций кода существует 10 возможных вариантов.

Чтобы найти общее количество всех возможных комбинаций кода, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда. Это является примером размещения с повторениями.

Общее число комбинаций $N$ вычисляется по формуле:

$N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$

Таким образом, существует 1000 различных вариантов кода (от 000 до 999). "Худший случай" означает, что правильный код будет найден последним. Если человек будет перебирать все возможные комбинации, не повторяя их, ему придётся проверить все 1000 вариантов, чтобы гарантированно открыть чемодан. Последняя, 1000-я попытка, и будет успешной.

Ответ: 1000 попыток.

Какова вероятность того, что, набрав произвольно номер из трёх цифр, он сможет сразу открыть чемодан?

Вероятность события $A$ (открыть чемодан с первой попытки) вычисляется по классической формуле вероятности:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $m$ — это число благоприятных исходов, а $n$ — это общее число всех равновозможных исходов.

В этой задаче:

- Число благоприятных исходов $m$ равно 1, так как существует только один правильный код (710).

- Общее число всех возможных исходов $n$ равно общему количеству комбинаций, то есть $n = 1000$.

Подставляем эти значения в формулу:

$P(A) = \frac{1}{1000}$

Таким образом, вероятность угадать правильный код с первой попытки составляет 1 к 1000.

Ответ: $\frac{1}{1000}$.

888 РАССУЖДАЕМ В урне находится 5 шаров: красный, жёлтый, синий, зелёный и белый. Их не глядя вынимают один за другим. Какова вероятность того, что:

а) первым будет вынут белый шар, а последним — зелёный;

б) сначала будут вынуты жёлтый и зелёный шары (в любом порядке);

в) красный и синий шары будут вынуты друг за другом (в любом порядке)?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В урне находится 5 различных шаров (красный, жёлтый, синий, зелёный, белый). Шары вынимают один за другим, то есть важен порядок их появления. Общее число возможных последовательностей, в которых их можно вынуть, равно числу перестановок из 5 элементов:

$n = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Это общее число всех равновозможных исходов для всех подпунктов задачи.

а) первым будет вынут белый шар, а последним — зелёный;

Найдём число благоприятных исходов ($m_a$). В этом случае позиции первого и последнего шаров строго зафиксированы.

• На первое место мы должны поставить белый шар (1 способ).
• На пятое (последнее) место мы должны поставить зелёный шар (1 способ).
• Оставшиеся 3 шара (красный, жёлтый, синий) могут располагаться на трёх средних местах (2-м, 3-м и 4-м) в любом порядке. Число способов их расположить равно числу перестановок из 3 элементов: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Таким образом, общее число благоприятных исходов равно произведению числа способов для каждой позиции:

$m_a = 1 \cdot 3! \cdot 1 = 6$.

Вероятность этого события:

$P(a) = \frac{m_a}{n} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{1}{20}$

б) сначала будут вынуты жёлтый и зелёный шары (в любом порядке);

Найдём число благоприятных исходов ($m_б$). Это означает, что первые два места в последовательности занимают жёлтый и зелёный шары.

• На первых двух местах могут быть комбинации "жёлтый, зелёный" или "зелёный, жёлтый". Число способов расположить эти два шара на первых двух местах равно $2! = 2$.
• Оставшиеся 3 шара (красный, синий, белый) могут располагаться на последних трёх местах (3-м, 4-м и 5-м) в любом порядке. Число способов их расположить равно $3! = 6$.

Общее число благоприятных исходов:

$m_б = 2! \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12$.

Вероятность этого события:

$P(б) = \frac{m_б}{n} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

в) красный и синий шары будут вынуты друг за другом (в любом порядке)?

Найдём число благоприятных исходов ($m_в$). Чтобы красный и синий шары были вынуты друг за другом, мы можем мысленно "склеить" их в один блок.

• Этот блок может состоять из последовательности "красный, синий" или "синий, красный". Таким образом, существует $2! = 2$ способа упорядочить шары внутри этого блока.
• Теперь у нас есть 4 "объекта" для перестановки: (блок из красного и синего шаров), жёлтый шар, зелёный шар и белый шар. Число способов расположить эти 4 объекта в ряд равно $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Общее число благоприятных исходов равно произведению числа перестановок "объектов" на число перестановок внутри блока:

$m_в = 4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48$.

Вероятность этого события:

$P(в) = \frac{m_в}{n} = \frac{48}{120} = \frac{2 \cdot 24}{5 \cdot 24} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$