Номер 888, страница 298 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.3. Сложные эксперименты. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 888, страница 298.

Условие.

888 РАССУЖДАЕМ В урне находится 5 шаров: красный, жёлтый, синий, зелёный и белый. Их не глядя вынимают один за другим. Какова вероятность того, что:

а) первым будет вынут белый шар, а последним — зелёный;

б) сначала будут вынуты жёлтый и зелёный шары (в любом порядке);

в) красный и синий шары будут вынуты друг за другом (в любом порядке)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В урне находится 5 различных шаров (красный, жёлтый, синий, зелёный, белый). Шары вынимают один за другим, то есть важен порядок их появления. Общее число возможных последовательностей, в которых их можно вынуть, равно числу перестановок из 5 элементов:

$n = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Это общее число всех равновозможных исходов для всех подпунктов задачи.

а) первым будет вынут белый шар, а последним — зелёный;

Найдём число благоприятных исходов ($m_a$). В этом случае позиции первого и последнего шаров строго зафиксированы.

• На первое место мы должны поставить белый шар (1 способ).
• На пятое (последнее) место мы должны поставить зелёный шар (1 способ).
• Оставшиеся 3 шара (красный, жёлтый, синий) могут располагаться на трёх средних местах (2-м, 3-м и 4-м) в любом порядке. Число способов их расположить равно числу перестановок из 3 элементов: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Таким образом, общее число благоприятных исходов равно произведению числа способов для каждой позиции:

$m_a = 1 \cdot 3! \cdot 1 = 6$.

Вероятность этого события:

$P(a) = \frac{m_a}{n} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{1}{20}$

б) сначала будут вынуты жёлтый и зелёный шары (в любом порядке);

Найдём число благоприятных исходов ($m_б$). Это означает, что первые два места в последовательности занимают жёлтый и зелёный шары.

• На первых двух местах могут быть комбинации "жёлтый, зелёный" или "зелёный, жёлтый". Число способов расположить эти два шара на первых двух местах равно $2! = 2$.
• Оставшиеся 3 шара (красный, синий, белый) могут располагаться на последних трёх местах (3-м, 4-м и 5-м) в любом порядке. Число способов их расположить равно $3! = 6$.

Общее число благоприятных исходов:

$m_б = 2! \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12$.

Вероятность этого события:

$P(б) = \frac{m_б}{n} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

в) красный и синий шары будут вынуты друг за другом (в любом порядке)?

Найдём число благоприятных исходов ($m_в$). Чтобы красный и синий шары были вынуты друг за другом, мы можем мысленно "склеить" их в один блок.

• Этот блок может состоять из последовательности "красный, синий" или "синий, красный". Таким образом, существует $2! = 2$ способа упорядочить шары внутри этого блока.
• Теперь у нас есть 4 "объекта" для перестановки: (блок из красного и синего шаров), жёлтый шар, зелёный шар и белый шар. Число способов расположить эти 4 объекта в ряд равно $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Общее число благоприятных исходов равно произведению числа перестановок "объектов" на число перестановок внутри блока:

$m_в = 4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48$.

Вероятность этого события:

$P(в) = \frac{m_в}{n} = \frac{48}{120} = \frac{2 \cdot 24}{5 \cdot 24} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$