Номер 5, страница 297 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 6.3. Сложные эксперименты. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 5, страница 297.

Условие.

Проверьте истинность утверждения «В каждом эксперименте сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1» для всех экспериментов, описанных в пунктах 6.2 и 6.3.

Решение 4.

Данное утверждение является одной из фундаментальных аксиом теории вероятностей (аксиома нормировки). Она гласит, что вероятность достоверного события (то есть наступления хотя бы одного из всех возможных элементарных событий в рамках одного эксперимента) равна 1. Проверим истинность этого утверждения для двух разных гипотетических экспериментов, которые могли бы быть описаны в указанных пунктах.

Пункт 6.2

Предположим, что эксперимент заключается в однократном бросании стандартного шестигранного игрального кубика. Элементарными событиями в этом случае являются исходы, при которых выпадает определённое количество очков.

Пространство элементарных событий $ \Omega $ состоит из 6 исходов: $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Поскольку кубик является правильным (симметричным), все исходы равновероятны. Вероятность каждого элементарного события $ P(E_i) $ вычисляется как отношение одного благоприятного исхода к общему числу исходов (которое равно 6):

$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$

Сумма вероятностей всех элементарных событий для этого эксперимента равна:

$P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$

Сумма вероятностей равна 1, следовательно, утверждение для данного эксперимента является истинным.

Ответ: Утверждение истинно.

Пункт 6.3

Предположим, что эксперимент заключается в извлечении одного шара из урны, в которой находятся 3 белых, 5 красных и 2 черных шара. Всего в урне $3 + 5 + 2 = 10$ шаров.

Элементарными событиями являются: $E_Б$ – «извлечен белый шар», $E_К$ – «извлечен красный шар», $E_Ч$ – «извлечен черный шар». В отличие от предыдущего примера, эти события не являются равновероятными.

Вероятность каждого события вычисляется по классической формуле вероятности $ P = \frac{m}{n} $, где $m$ – число благоприятствующих исходов, а $n$ – общее число исходов.

Вероятность извлечь белый шар: $P(E_Б) = \frac{3}{10}$

Вероятность извлечь красный шар: $P(E_К) = \frac{5}{10}$

Вероятность извлечь черный шар: $P(E_Ч) = \frac{2}{10}$

Найдем сумму вероятностей всех элементарных событий:

$P(E_Б) + P(E_К) + P(E_Ч) = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3+5+2}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Сумма вероятностей также равна 1, следовательно, утверждение и для этого эксперимента является истинным.

Ответ: Утверждение истинно.