Номер 884, страница 295 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Классическое определение вероятности. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 884, страница 295.

Условие.

884 Даны отрезки длиной 2, 5, 6 и 10 см. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу трёх отрезков можно составить треугольник?

Указание. Чтобы найти благоприятные исходы, воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи по теории вероятностей нам необходимо найти общее количество возможных исходов (N) и количество исходов, благоприятствующих событию (M). Вероятность события (P) будет равна их отношению $P = \frac{M}{N}$.

1. Нахождение общего числа исходов (N)

У нас есть 4 отрезка, из которых нужно выбрать 3. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (общее количество отрезков) и $k=3$ (количество выбираемых отрезков).

$N = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$

Таким образом, существует 4 возможных способа выбрать три отрезка. Перечислим все возможные комбинации длин:

• {2, 5, 6}
• {2, 5, 10}
• {2, 6, 10}
• {5, 6, 10}

2. Нахождение числа благоприятных исходов (M)

Благоприятным исходом является такой набор из трех отрезков, из которого можно составить треугольник. Для этого должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. На практике достаточно проверить, что сумма длин двух самых коротких отрезков больше длины самого длинного отрезка.

Проверим каждую из четырех комбинаций:

1. Комбинация {2, 5, 6}. Проверяем: $2 + 5 > 6 \Rightarrow 7 > 6$. Неравенство верно, значит, треугольник составить можно.
2. Комбинация {2, 5, 10}. Проверяем: $2 + 5 > 10 \Rightarrow 7 > 10$. Неравенство неверно, значит, треугольник составить нельзя.
3. Комбинация {2, 6, 10}. Проверяем: $2 + 6 > 10 \Rightarrow 8 > 10$. Неравенство неверно, значит, треугольник составить нельзя.
4. Комбинация {5, 6, 10}. Проверяем: $5 + 6 > 10 \Rightarrow 11 > 10$. Неравенство верно, значит, треугольник составить можно.

Итак, у нас есть 2 благоприятных исхода.

3. Вычисление вероятности (P)

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$