Номер 882, страница 295 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Классическое определение вероятности. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 882, страница 295.

Условие.

882 Слово написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Найдите вероятность того, что если эти кусочки картона перемешать и снова составить их в ряд случайным образом, то опять получится то же слово, если это слово:

a) «алгебра»;

б) «перестановка».

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов. Формула вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число исходов, а $m$ – число благоприятных исходов.

В данной задаче общее число исходов $n$ – это количество всех возможных перестановок букв в заданном слове. Благоприятствующий исход $m$ – это единственный случай, когда буквы выстраиваются в исходное слово, следовательно, $m=1$.

Если в слове из $N$ букв есть повторяющиеся буквы, то общее число различных перестановок вычисляется по формуле для перестановок с повторениями: $n = \frac{N!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}$, где $N$ – общее количество букв, а $n_1, n_2, ..., n_k$ – количество повторений каждой из повторяющихся букв.

а) «алгебра»

В слове «алгебра» всего 7 букв ($N=7$). Среди них буква «а» встречается 2 раза ($n_a=2$), а остальные буквы («л», «г», «е», «б», «р») – по одному разу.

Найдем общее число возможных перестановок букв этого слова: $n = \frac{7!}{2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2} = \frac{5040}{2} = 2520$.

Число благоприятных исходов (получить слово «алгебра») равно $m=1$.

Таким образом, искомая вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{2520}$.

Ответ: $\frac{1}{2520}$.

б) «перестановка»

В слове «перестановка» всего 12 букв ($N=12$). В этом слове есть две группы повторяющихся букв: буква «е» встречается 2 раза ($n_е=2$) и буква «а» также встречается 2 раза ($n_а=2$). Остальные 8 букв уникальны.

Найдем общее число возможных перестановок, используя формулу для перестановок с повторениями: $n = \frac{12!}{2! \cdot 2!} = \frac{479001600}{2 \cdot 2} = \frac{479001600}{4} = 119750400$.

Число благоприятных исходов (получить слово «перестановка») также равно $m=1$.

Таким образом, искомая вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{119750400}$.

Ответ: $\frac{1}{119750400}$.