Номер 877, страница 294 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Классическое определение вероятности. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 877, страница 294.

Условие.

877 На трёхместную скамейку произвольным образом садятся два мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?

Указание. Обозначьте женщину буквой Ж, а мужчин буквами $M_1$ и $M_2$. Выпишите все возможные варианты их размещения на скамейке.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи по теории вероятностей нам необходимо найти общее количество возможных способов рассадить людей и количество способов, при которых мужчины окажутся рядом. Вероятность будет отношением второго числа к первому.

1. Найдём общее число всех возможных вариантов размещения.

У нас есть три человека: женщина (обозначим её Ж) и двое мужчин (обозначим их М₁ и М₂). Их нужно рассадить на три места. Общее число способов сделать это равно числу перестановок из трёх различных элементов, и это будет общее число элементарных исходов $n$.

Формула для числа перестановок из $k$ элементов: $P_k = k!$

В нашем случае $k=3$, поэтому:

$n = P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$

Согласно указанию в задаче, выпишем все эти 6 возможных вариантов размещения (слева направо):

1. (М₁, М₂, Ж)
2. (М₂, М₁, Ж)
3. (М₁, Ж, М₂)
4. (М₂, Ж, М₁)
5. (Ж, М₁, М₂)
6. (Ж, М₂, М₁)

2. Найдём число благоприятных исходов.

Благоприятным исходом считается ситуация, когда двое мужчин сидят рядом. Чтобы посчитать количество таких вариантов, мы можем рассматривать двух мужчин как единую группу (ММ). Теперь нам нужно рассадить два "объекта": группу мужчин (ММ) и женщину (Ж). Это можно сделать $2! = 2$ способами:

- (ММ), Ж
- Ж, (ММ)

При этом внутри самой группы мужчины могут меняться местами. Количество перестановок внутри группы из двух мужчин также равно $2! = 2$ (варианты М₁М₂ и М₂М₁).

Чтобы найти общее число благоприятных исходов $m$, нужно перемножить количество способов размещения группы и количество перестановок внутри группы:

$m = 2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$

Выпишем эти 4 благоприятных исхода из нашего общего списка:

- (М₁, М₂, Ж)
- (М₂, М₁, Ж)
- (Ж, М₁, М₂)
- (Ж, М₂, М₁)

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ события "мужчины окажутся рядом" вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $n$:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.