Номер 881, страница 295 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Классическое определение вероятности. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 881, страница 295.

Условие.

881 АНАЛИЗИРУЕМ В урне находится 3 шара: жёлтый, синий, зелёный. Их не глядя вынимают один за другим. Какова вероятность того, что:

а) первым будет вынут синий шар;

б) последним будет вынут зелёный шар;

в) вначале будут вынуты синий и жёлтый шары (в любом порядке)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи определим общее число возможных исходов. В урне находятся 3 различных шара: жёлтый (Ж), синий (С) и зелёный (З). Шары вынимают один за другим без возвращения. Порядок, в котором вынимают шары, имеет значение. Следовательно, общее число исходов равно числу перестановок из 3 элементов.

Общее число исходов $N$ вычисляется по формуле: $N = P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Все возможные последовательности извлечения шаров (исходы):

• (Ж, С, З)
• (Ж, З, С)
• (С, Ж, З)
• (С, З, Ж)
• (З, Ж, С)
• (З, С, Ж)

Все 6 исходов являются равновероятными.

а) первым будет вынут синий шар;

Пусть событие А заключается в том, что первым вынут синий шар. Найдем количество благоприятствующих этому событию исходов. Это те последовательности, которые начинаются с буквы "С": (С, Ж, З) и (С, З, Ж). Число благоприятствующих исходов $m = 2$.

Вероятность события А находится по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$. $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) последним будет вынут зелёный шар;

Пусть событие B заключается в том, что последним вынут зелёный шар. Найдем количество благоприятствующих этому событию исходов. Это те последовательности, которые заканчиваются на букву "З": (Ж, С, З) и (С, Ж, З). Число благоприятствующих исходов $m = 2$.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{m}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Заметим, что из-за симметрии вероятность для любого шара оказаться на любом конкретном месте (первом, втором или третьем) одинакова и равна $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) вначале будут вынуты синий и жёлтый шары (в любом порядке)?

Пусть событие C заключается в том, что первые два вынутых шара — это синий и жёлтый. Это означает, что третий шар обязательно будет зелёным. Рассмотрим, какие последовательности удовлетворяют этому условию.

Это два случая:

1. Первым вынут синий, вторым — жёлтый: (С, Ж, З).
2. Первым вынут жёлтый, вторым — синий: (Ж, С, З).

Число благоприятствующих исходов $m = 2$.

Вероятность события C: $P(C) = \frac{m}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Можно решить и по-другому, используя теорему умножения вероятностей. Вероятность того, что первым вынут синий шар, а вторым жёлтый, равна $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. Вероятность того, что первым вынут жёлтый, а вторым синий, также равна $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. Так как эти два варианта являются несовместными событиями, итоговая вероятность равна их сумме: $P(C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$