Номер 3, страница 297 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы к пункту. 6.3. Сложные эксперименты. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 3, страница 297.

Условие.

Являются ли события $A$ и $B$ противоположными (см. пример 3)?

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы ответить на вопрос, являются ли события A и B противоположными, необходимо сначала вспомнить определение противоположных событий. События A и B называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу. Это означает, что в результате испытания одно из этих событий обязательно происходит, а другое — нет. Противоположное событие для A обычно обозначают как $\overline{A}$.

Таким образом, для того чтобы события $A$ и $B$ были противоположными, они должны одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Несовместность: События A и B не могут произойти одновременно. Их пересечение является пустым множеством: $A \cap B = \emptyset$.
2. Полнота: Объединение событий A и B составляет всё пространство элементарных исходов $\Omega$. Это значит, что в результате эксперимента обязательно произойдёт либо событие A, либо событие B: $A \cup B = \Omega$.

Рассмотрим несколько конкретных случаев, чтобы применить это определение.

а) Эксперимент: бросание игрального кубика. Событие A — «выпало чётное число очков», событие B — «выпало нечётное число очков».

Пространство элементарных исходов (все возможные результаты) для броска кубика: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Множество исходов, благоприятствующих событию A (выпало чётное число): $A = \{2, 4, 6\}$.
Множество исходов, благоприятствующих событию B (выпало нечётное число): $B = \{1, 3, 5\}$.

Проверим условия для противоположных событий:
1. Несовместность: Число на кубике не может быть одновременно и чётным, и нечётным. Следовательно, события A и B не могут произойти одновременно. Их пересечение пусто: $A \cap B = \emptyset$. Условие выполнено.
2. Полнота: Объединение множеств исходов для A и B: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Это множество совпадает со всем пространством элементарных исходов $\Omega$. Значит, при любом броске кубика обязательно произойдет либо событие A, либо событие B. Условие выполнено.

Так как оба условия выполняются, события A и B являются противоположными.
Ответ: да, являются.

б) Эксперимент: из колоды в 36 карт вынимают одну карту. Событие A — «вынутая карта — туз», событие B — «вынутая карта — не туз».

Пространство элементарных исходов $\Omega$ — это все 36 карт в колоде.
Событие A: вынута одна из 4 карт-тузов.
Событие B: вынута любая из оставшихся 32 карт (не тузов).

Проверим условия:
1. Несовместность: Карта не может быть одновременно и тузом, и не тузом. События несовместны. $A \cap B = \emptyset$. Условие выполнено.
2. Полнота: Любая вынутая из колоды карта будет либо тузом, либо не тузом. Других вариантов нет. Следовательно, объединение этих событий покрывает все возможные исходы. $A \cup B = \Omega$. Условие выполнено.

События A и B являются противоположными.
Ответ: да, являются.

в) Эксперимент: бросание игрального кубика. Событие A — «выпало число очков больше 3», событие B — «выпало число очков меньше 3».

Пространство элементарных исходов: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Множество исходов для события A (число > 3): $A = \{4, 5, 6\}$.
Множество исходов для события B (число < 3): $B = \{1, 2\}$.

Проверим условия:
1. Несовместность: Число не может быть одновременно больше 3 и меньше 3. $A \cap B = \emptyset$. Условие выполнено.
2. Полнота: Объединение исходов $A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6\}$. Этот набор не включает исход «выпало 3 очка». Если выпадет тройка, то не произойдёт ни событие A, ни событие B. Таким образом, $A \cup B \neq \Omega$. Условие не выполняется.

Поскольку второе условие не выполнено, события A и B не являются противоположными. Противоположным событию A («выпало > 3») является событие $\overline{A}$ («выпало $\leq$ 3»), то есть исходы $\{1, 2, 3\}$.
Ответ: нет, не являются.

г) Эксперимент: два стрелка стреляют по мишени. Событие A — «оба попали», событие B — «оба промахнулись».

Обозначим исходы для каждого стрелка: П - попал, М - промахнулся. Пространство элементарных исходов для двух стрелков: $\Omega = \{ПП, ПМ, МП, ММ\}$.
Событие A (оба попали) соответствует исходу: $A = \{ПП\}$.
Событие B (оба промахнулись) соответствует исходу: $B = \{ММ\}$.

Проверим условия:
1. Несовместность: События A и B не могут произойти одновременно. $A \cap B = \emptyset$. Условие выполнено.
2. Полнота: Объединение исходов $A \cup B = \{ПП, ММ\}$. Этот набор не включает исходы ПМ (первый попал, второй промахнулся) и МП (первый промахнулся, второй попал). Если произойдет один из этих исходов, то не наступит ни событие A, ни событие B. Таким образом, $A \cup B \neq \Omega$. Условие не выполняется.

События A и B не являются противоположными, они лишь несовместны.
Ответ: нет, не являются.