Номер 893, страница 300 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.4. Геометрические вероятности. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 893, страница 300.

Условие.

893 а) Стрелок, не целясь, стреляет в круглую мишень (рис. 6.5) и попадает в неё. Какова вероятность того, что он попал в синий круг? выбил не более 5 очков?

б) Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень (рис. 6.6) и попадает в неё. Какова вероятность того, что он попадёт в тройку? в двойку? в единицу?

894 Фишку наугад бросают в квадрат, изображённый на рисунке 6.7. Какова вероятность того, что фишка попадёт:

Рис. 6.5

Рис. 6.6

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность попадания в определенную область равна отношению площади этой области к площади всей мишени.

Мишень представляет собой 10 концентрических кругов. Будем считать, что все 10 зон (колец и центрального круга) имеют одинаковую ширину. Пусть ширина каждого кольца равна $w$. Тогда центральный круг (зона "10") имеет радиус $w$, круг, включающий зону "9", имеет радиус $2w$, и так далее. Вся мишень представляет собой круг с радиусом $R = 10w$.

Площадь всей мишени равна: $S_{общ} = \pi R^2 = \pi (10w)^2 = 100\pi w^2$.

Сначала найдем вероятность того, что стрелок попал в синий круг. Синяя область включает зоны с очками от 6 до 10. Эта область представляет собой круг, граница которого отделяет зону "5" от зоны "6". Радиус этого круга равен $R_{синий} = 5w$.

Площадь синего круга: $S_{синий} = \pi R_{синий}^2 = \pi (5w)^2 = 25\pi w^2$.

Вероятность попадания в синий круг: $P(\text{синий}) = \frac{S_{синий}}{S_{общ}} = \frac{25\pi w^2}{100\pi w^2} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем вероятность того, что стрелок выбил не более 5 очков. Это означает попадание в зоны 1, 2, 3, 4 или 5. Эти зоны составляют белую часть мишени. Событие "выбить не более 5 очков" является дополнением к событию "попасть в синий круг" (т.е. выбить 6 или более очков).

Следовательно, искомая вероятность равна: $P(\text{не более 5 очков}) = 1 - P(\text{синий}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: Вероятность того, что стрелок попал в синий круг, равна $\frac{1}{4}$. Вероятность того, что он выбил не более 5 очков, равна $\frac{3}{4}$.

б) Это также задача на геометрическую вероятность. Так как большая треугольная мишень разделена на множество одинаковых по площади маленьких равносторонних треугольников, вероятность попадания в область с определенным счетом равна отношению количества треугольников с этим счетом к общему количеству маленьких треугольников.

Сначала посчитаем общее количество маленьких треугольников. Мишень состоит из 4 рядов:

• 1-й ряд (сверху): 1 треугольник
• 2-й ряд: 3 треугольника
• 3-й ряд: 5 треугольников
• 4-й ряд (основание): 7 треугольников

Общее число треугольников: $N_{общ} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16$.

Теперь посчитаем количество треугольников для каждого вида очков:

• Тройка (3 очка): На рисунке только один центральный треугольник с цифрой 3. Таким образом, $N_3 = 1$.
• Двойка (2 очка): Посчитаем все треугольники с цифрой 2. В 2-м ряду - 1, в 3-м ряду - 2, в 4-м ряду - 3. Итого: $N_2 = 1 + 2 + 3 = 6$.
• Единица (1 очко): Посчитаем все треугольники с цифрой 1. В 1-м ряду - 1, во 2-м ряду - 2, в 3-м ряду - 2, в 4-м ряду - 4. Итого: $N_1 = 1 + 2 + 2 + 4 = 9$.

Проверка: $N_1 + N_2 + N_3 = 9 + 6 + 1 = 16$, что совпадает с общим числом треугольников.

Теперь можем вычислить вероятности:

• Вероятность попасть в тройку: $P(3) = \frac{N_3}{N_{общ}} = \frac{1}{16}$.
• Вероятность попасть в двойку: $P(2) = \frac{N_2}{N_{общ}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
• Вероятность попасть в единицу: $P(1) = \frac{N_1}{N_{общ}} = \frac{9}{16}$.

Ответ: Вероятность попасть в тройку равна $\frac{1}{16}$, в двойку — $\frac{3}{8}$, в единицу — $\frac{9}{16}$.