Страница 302 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

900 В таблице показан расход электроэнергии в квартирах одного из подъездов четырёхэтажного дома за март:

Номер квартиры: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24

Расход электроэнергии, кВт · ч: 120, 98, 137, 85, 142, 103, 95, 92, 110, 146, 107, 82

а) Сколько электроэнергии в среднем потребили жители этого подъезда в марте? (Найдите среднее арифметическое ряда.)

б) Каков средний расход электроэнергии в квартирах этого подъезда в марте? (Найдите медиану ряда.)

а) Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо сложить все значения расхода электроэнергии и разделить полученную сумму на количество квартир.

Данный ряд значений расхода электроэнергии (в кВт⋅ч): 120, 98, 137, 85, 142, 103, 95, 92, 110, 146, 107, 82.

Всего в подъезде 12 квартир.

1. Найдём сумму всех значений расхода электроэнергии:

$120 + 98 + 137 + 85 + 142 + 103 + 95 + 92 + 110 + 146 + 107 + 82 = 1317$ кВт⋅ч.

2. Разделим полученную сумму на количество квартир, чтобы найти среднее арифметическое:

Среднее арифметическое $= \frac{1317}{12} = 109.75$ кВт⋅ч.

Ответ: в среднем жители этого подъезда потребили 109.75 кВт⋅ч электроэнергии в марте.

б) Чтобы найти медиану ряда, необходимо сначала упорядочить все значения по возрастанию. Медиана — это число, которое находится в середине этого упорядоченного ряда.

1. Упорядочим ряд значений расхода электроэнергии по возрастанию:

82, 85, 92, 95, 98, 103, 107, 110, 120, 137, 142, 146.

2. Поскольку в ряду чётное количество чисел (12), медиана будет равна среднему арифметическому двух чисел, стоящих посередине. В данном случае это 6-е и 7-е числа.

6-е число в ряду — 103.

7-е число в ряду — 107.

3. Найдём среднее арифметическое этих двух чисел:

Медиана $= \frac{103 + 107}{2} = \frac{210}{2} = 105$ кВт⋅ч.

Ответ: средний расход электроэнергии (медиана) в квартирах этого подъезда в марте составляет 105 кВт⋅ч.

901 Сколько членов в упорядоченном числовом ряду, если его медианой служит:

а) десятый член;

б) среднее арифметическое десятого и одиннадцатого членов?

Для решения этой задачи необходимо понимать, как определяется медиана упорядоченного числового ряда. Медиана — это значение, которое делит ряд на две равные по количеству членов части.

• Если в ряду нечетное количество членов ($n$), то медианой является один член, стоящий ровно посередине. Его порядковый номер ($k$) вычисляется по формуле $k = \frac{n+1}{2}$.
• Если в ряду четное количество членов ($n$), то медианой является среднее арифметическое двух членов, стоящих в середине. Их порядковые номера — $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.

а)

По условию, медианой служит десятый член ряда. Это соответствует случаю, когда в ряду нечетное количество членов, и один из них является центральным. Обозначим общее количество членов в ряду как $n$.

Порядковый номер медианы в ряду с нечетным числом членов равен $k = \frac{n+1}{2}$.

Нам известно, что $k = 10$. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$10 = \frac{n+1}{2}$

Чтобы найти $n$, умножим обе части уравнения на 2:

$20 = n + 1$

Теперь вычтем 1 из обеих частей:

$n = 20 - 1 = 19$

Таким образом, если медианой является десятый член, то в ряду всего 19 членов (9 членов до него и 9 членов после него).

Ответ: 19 членов.

б)

По условию, медиана является средним арифметическим десятого и одиннадцатого членов. Это соответствует случаю, когда в ряду четное количество членов, и два центральных члена определяют медиану.

Порядковые номера этих двух центральных членов для ряда с четным числом членов $n$ равны $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.

Из условия мы знаем, что эти номера — 10 и 11. Мы можем составить два уравнения:

$\frac{n}{2} = 10$

$\frac{n}{2} + 1 = 11$

Решим первое уравнение относительно $n$:

$n = 10 \cdot 2 = 20$

Решение второго уравнения также дает $n = 20$ ($ \frac{n}{2} = 11-1=10 $, $n = 20$).

Таким образом, если медиана является средним арифметическим десятого и одиннадцатого членов, то в ряду всего 20 членов.

Ответ: 20 членов.

902 а) Среднее арифметическое ряда, состоящего из девяти чисел, равно 12. К нему приписали число 2. Чему равно среднее арифметическое нового ряда?

б) Среднее арифметическое ряда, состоящего из шести чисел, равно 15. Из него вычеркнули число 10. Чему равно среднее арифметическое нового ряда?

а) Среднее арифметическое – это частное от деления суммы чисел на их количество. По условию, среднее арифметическое девяти чисел равно 12. Найдем сумму этих чисел (обозначим ее как $S_1$).

$S_1 = 12 \times 9 = 108$

К этому ряду чисел приписали число 2. Теперь в ряду стало 10 чисел ($9+1=10$), а их сумма (обозначим ее как $S_2$) увеличилась на 2.

$S_2 = 108 + 2 = 110$

Чтобы найти среднее арифметическое нового ряда, нужно новую сумму разделить на новое количество чисел.

Среднее арифметическое нового ряда $= \frac{S_2}{10} = \frac{110}{10} = 11$

Ответ: 11

б) По условию, среднее арифметическое шести чисел равно 15. Найдем сумму этих чисел (обозначим ее как $S_1$).

$S_1 = 15 \times 6 = 90$

Из этого ряда вычеркнули число 10. Теперь в ряду осталось 5 чисел ($6-1=5$), а их сумма (обозначим ее как $S_2$) уменьшилась на 10.

$S_2 = 90 - 10 = 80$

Чтобы найти среднее арифметическое нового ряда, нужно новую сумму разделить на новое количество чисел.

Среднее арифметическое нового ряда $= \frac{S_2}{5} = \frac{80}{5} = 16$

Ответ: 16

903 Среднее арифметическое некоторых семи чисел равно 12, а среднее арифметическое других трёх чисел равно 22. Найдите среднее арифметическое всех десяти чисел.

Чтобы найти среднее арифметическое всех десяти чисел, необходимо сначала найти сумму первых семи чисел, затем сумму следующих трёх чисел, сложить эти суммы и разделить на общее количество чисел (десять).

1. Найдём сумму первых семи чисел.

Среднее арифметическое — это сумма чисел, делённая на их количество. По условию, среднее арифметическое семи чисел равно 12. Пусть их сумма равна $S_1$.

$S_1 / 7 = 12$

Отсюда, чтобы найти сумму $S_1$, нужно умножить среднее арифметическое на количество чисел:

$S_1 = 12 \times 7 = 84$

2. Найдём сумму других трёх чисел.

Аналогично, среднее арифметическое трёх других чисел равно 22. Пусть их сумма равна $S_2$.

$S_2 / 3 = 22$

Найдём сумму $S_2$:

$S_2 = 22 \times 3 = 66$

3. Найдём среднее арифметическое всех десяти чисел.

Общее количество чисел равно $7 + 3 = 10$.

Общая сумма всех десяти чисел равна сумме $S_1$ и $S_2$:

$S_{общая} = S_1 + S_2 = 84 + 66 = 150$

Теперь вычислим среднее арифметическое всех десяти чисел, разделив их общую сумму на их общее количество:

Среднее арифметическое = $S_{общая} / 10 = 150 / 10 = 15$

Ответ: 15

904 Исследуем Дан ряд из пяти чисел: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$.

а) Каждый член ряда увеличили на 10. Запишите новый ряд и вычислите его среднее арифметическое, найдите моду и медиану. Сделайте вывод: как изменяются среднее арифметическое, мода и медиана ряда при увеличении каждого его члена на одно и то же число?

б) Каждый член ряда увеличили в 10 раз. Запишите новый ряд и вычислите его среднее арифметическое, найдите моду и медиану. Сделайте вывод: как изменяются среднее арифметическое, мода и медиана ряда при увеличении каждого его члена на в одно и то же число раз?

Для исследования нам дан ряд из пяти чисел: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$.

а) Каждый член ряда увеличили на 10. Запишите новый ряд и вычислите его среднее арифметическое, найдите моду и медиану. Сделайте вывод: как изменяются среднее арифметическое, мода и медиана ряда при увеличении каждого его члена на одно и то же число?

Новый ряд чисел после увеличения каждого члена на 10 будет иметь вид:
$a_1+10, a_2+10, a_3+10, a_4+10, a_5+10$.

Среднее арифметическое:
Среднее арифметическое исходного ряда ($M_{исх}$) равно сумме всех его членов, деленной на их количество:
$M_{исх} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5}{5}$.
Найдем среднее арифметическое нового ряда ($M_{нов}$):
$M_{нов} = \frac{(a_1+10) + (a_2+10) + (a_3+10) + (a_4+10) + (a_5+10)}{5} = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 + 5 \cdot 10}{5} = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5} + \frac{50}{5} = M_{исх} + 10$.
Таким образом, среднее арифметическое ряда увеличилось на 10.

Мода:
Мода – это значение в ряду, которое встречается наиболее часто. Обозначим моду исходного ряда $Mo_{исх}$. Так как каждый член ряда увеличили на 10, то и самое часто встречающееся значение увеличится на 10, при этом его частота не изменится. Следовательно, мода нового ряда $Mo_{нов} = Mo_{исх} + 10$.

Медиана:
Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда. Для ряда из 5 чисел медианой является его третий член после упорядочивания. Пусть исходный упорядоченный ряд: $a_{(1)} \le a_{(2)} \le a_{(3)} \le a_{(4)} \le a_{(5)}$. Тогда медиана исходного ряда $Me_{исх} = a_{(3)}$.
Новый упорядоченный ряд будет: $a_{(1)}+10 \le a_{(2)}+10 \le a_{(3)}+10 \le a_{(4)}+10 \le a_{(5)}+10$.
Медиана нового ряда $Me_{нов}$ — это его третий член: $Me_{нов} = a_{(3)} + 10 = Me_{исх} + 10$.
Таким образом, медиана ряда также увеличилась на 10.

Вывод:
При увеличении каждого члена ряда на одно и то же число, его среднее арифметическое, мода и медиана также увеличиваются на это число.

Ответ: Новый ряд: $a_1+10, a_2+10, a_3+10, a_4+10, a_5+10$. При увеличении каждого члена ряда на 10, его среднее арифметическое, мода и медиана также увеличиваются на 10.

б) Каждый член ряда увеличили в 10 раз. Запишите новый ряд и вычислите его среднее арифметическое, найдите моду и медиану. Сделайте вывод: как изменяются среднее арифметическое, мода и медиана ряда при увеличении каждого его члена на в одно и то же число раз?

Новый ряд чисел после увеличения каждого члена в 10 раз будет иметь вид:
$10a_1, 10a_2, 10a_3, 10a_4, 10a_5$.

Среднее арифметическое:
Среднее арифметическое исходного ряда: $M_{исх} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5}{5}$.
Найдем среднее арифметическое нового ряда ($M_{нов}$):
$M_{нов} = \frac{10a_1 + 10a_2 + 10a_3 + 10a_4 + 10a_5}{5} = \frac{10(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)}{5} = 10 \cdot (\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}) = 10 \cdot M_{исх}$.
Таким образом, среднее арифметическое ряда увеличилось в 10 раз.

Мода:
Мода исходного ряда — $Mo_{исх}$. При умножении каждого члена ряда на 10, значение, которое встречалось чаще всего, также будет умножено на 10, а его частота останется прежней. Следовательно, мода нового ряда $Mo_{нов} = 10 \cdot Mo_{исх}$.

Медиана:
Медиана исходного упорядоченного ряда: $Me_{исх} = a_{(3)}$.
При умножении на положительное число 10 порядок элементов в ряду сохранится. Новый упорядоченный ряд: $10a_{(1)} \le 10a_{(2)} \le 10a_{(3)} \le 10a_{(4)} \le 10a_{(5)}$.
Медиана нового ряда $Me_{нов}$ — это его третий член: $Me_{нов} = 10a_{(3)} = 10 \cdot Me_{исх}$.
Таким образом, медиана ряда также увеличилась в 10 раз.

Вывод:
При увеличении (умножении) каждого члена ряда в одно и то же число раз ($k$), его среднее арифметическое, мода и медиана также увеличиваются в это же число раз ($k$).

Ответ: Новый ряд: $10a_1, 10a_2, 10a_3, 10a_4, 10a_5$. При увеличении каждого члена ряда в 10 раз, его среднее арифметическое, мода и медиана также увеличиваются в 10 раз.

905 В лототроне находятся шары с номерами от 1 до 100. Шары были тщательно перемешаны, после чего один шар выпал.

Какова вероятность того, что:

а) выпавший номер оказался двузначным;

б) выпавший номер кратен трём;

в) выпавший номер не делится на четыре;

г) выпавший номер не содержит цифру 5?

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = M/N$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данной задаче из лототрона выпадает один из 100 шаров, поэтому общее число исходов для всех пунктов равно $N = 100$.

а) выпавший номер оказался двузначным;

Среди чисел от 1 до 100 двузначными являются числа от 10 до 99 включительно. Чтобы найти их количество ($M$), нужно из последнего числа вычесть первое и прибавить единицу:
$M = 99 - 10 + 1 = 90$.
Таким образом, существует 90 благоприятствующих исходов.
Вероятность того, что выпавший номер окажется двузначным, равна:
$P = M/N = 90/100 = 0,9$.
Ответ: 0,9.

б) выпавший номер кратен трём;

Найдём количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 3. Такие числа образуют арифметическую прогрессию: 3, 6, 9, ..., 99. Чтобы найти их количество ($M$), нужно наибольшее число (100) разделить на 3 и взять целую часть от результата:
$M = \lfloor 100 / 3 \rfloor = \lfloor 33,33... \rfloor = 33$.
Таким образом, существует 33 благоприятствующих исхода.
Вероятность того, что выпавший номер кратен трём, равна:
$P = M/N = 33/100 = 0,33$.
Ответ: 0,33.

в) выпавший номер не делится на четыре;

Это событие является противоположным событию "выпавший номер делится на четыре". Сначала найдём количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 4.
$M_{дел \, на \, 4} = \lfloor 100 / 4 \rfloor = 25$.
Всего 100 чисел, из них 25 делятся на 4. Значит, количество чисел, которые не делятся на 4 ($M$), равно:
$M = 100 - 25 = 75$.
Таким образом, существует 75 благоприятствующих исходов.
Вероятность того, что выпавший номер не делится на четыре, равна:
$P = M/N = 75/100 = 0,75$.
Ответ: 0,75.

г) выпавший номер не содержит цифру 5?

Найдём количество чисел от 1 до 100, которые содержат цифру 5. Проще всего их перечислить:
- Числа, оканчивающиеся на 5: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 (всего 10 чисел).
- Числа, начинающиеся на 5 (десятки): 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59 (всего 9 чисел, так как число 55 уже учтено в первом списке).
Общее количество чисел с цифрой 5: $10 + 9 = 19$.
Тогда количество чисел от 1 до 100, которые не содержат цифру 5 ($M$), равно:
$M = 100 - 19 = 81$.
Таким образом, существует 81 благоприятствующий исход.
Вероятность того, что выпавший номер не содержит цифру 5, равна:
$P = M/N = 81/100 = 0,81$.
Ответ: 0,81.

906 Слово «вероятность» написали на полоске картона, затем разрезали на буквы, перевернули и наугад вытянули одну букву. Какова вероятность того, что она будет гласной? что это будет буква «о»?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Слово «вероятность» состоит из 11 букв: в, е, р, о, я, т, н, о, с, т, ь. Следовательно, общее число возможных исходов (вытащить любую из этих букв) равно $n = 11$.

Какова вероятность того, что она будет гласной?

Событие $A$ — вытянутая буква является гласной. Подсчитаем количество гласных букв в слове «вероятность». Это буквы: е, о, я, о. Всего 4 гласные буквы. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию $A$, равно $m = 4$.

Вероятность вытащить гласную букву равна:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$

что это будет буква «о»?

Событие $B$ — вытянутая буква является буквой «о». Подсчитаем, сколько раз буква «о» встречается в слове «вероятность». Она встречается 2 раза. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию $B$, равно $m = 2$.

Вероятность вытащить букву «о» равна:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{2}{11}$

Ответ: $\frac{2}{11}$