Номер 868, страница 289 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Статистические характеристики. Глава 6. Вероятность и статистика - номер 868, страница 289.

Условие.

868 РАССУЖДАЕМ

Для службы в Президентском полку отбирают призывников ростом не менее 175 см и не более 190 см.

Есть три группы призывников, про которые известно, что:

в первой группе средний рост равен 180 см;

во второй группе максимальный рост равен 189 см;

в третьей группе медиана ряда ростов равна 176 см.

В какой из этих групп не менее половины призывников заведомо годны к службе в Президентском полку?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы призывник был годен к службе в Президентском полку, его рост $h$ в сантиметрах должен удовлетворять условию $175 \le h \le 190$.

Проанализируем каждую группу на предмет того, можно ли гарантировать, что в ней не менее половины (то есть 50% или более) призывников годны к службе.

в первой группе средний рост равен 180 см.

Знание среднего арифметического роста не позволяет сделать однозначный вывод о доле призывников, чей рост попадает в заданный диапазон. Среднее значение чувствительно к выбросам (очень высоким или очень низким значениям). Можно привести контрпример, в котором никто из призывников не является годным.
Пример: Рассмотрим группу из двух призывников с ростом 160 см и 200 см. Оба они не годны к службе ($160 < 175$ и $200 > 190$). Однако их средний рост равен $(160 + 200) / 2 = 180$ см. В этой группе 0% призывников годны к службе, что меньше 50%.
Следовательно, для первой группы такая гарантия отсутствует.

Ответ: нет.

во второй группе максимальный рост равен 189 см.

Это означает, что рост $h$ каждого призывника в этой группе не превышает 189 см, то есть $h \le 189$. Поскольку $189 \le 190$, все призывники в этой группе автоматически удовлетворяют верхнему ограничению по росту.
Однако, у нас нет никакой информации о росте призывников относительно нижней границы в 175 см. Возможно, что почти все призывники в группе ниже 175 см.
Пример: Рассмотрим группу из 10 человек, у 9 из которых рост 174 см (не годны), а у одного — 189 см (годен). Максимальный рост в группе равен 189 см, но доля годных призывников составляет всего $1/10 = 10\%$, что меньше 50%.
Следовательно, для второй группы такая гарантия отсутствует.

Ответ: нет.

в третьей группе медиана ряда ростов равна 176 см.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию набор данных на две равные части. Это означает, что как минимум половина призывников в группе имеет рост не менее 176 см, и как минимум половина — не более 176 см.
Рассмотрим ту половину призывников, у которых рост $h \ge 176$ см. Все они удовлетворяют нижнему требованию к росту, так как $176 \ge 175$.
Рассмотрим ту половину призывников, у которых рост $h \le 176$ см. Все они удовлетворяют верхнему требованию к росту, так как $176 \le 190$.
Чтобы призывник был годен, его рост должен удовлетворять обоим условиям одновременно ($175 \le h \le 190$).
Именно в этой группе можно дать требуемую гарантию. По определению медианы, как минимум у половины призывников рост не меньше 176 см. Обозначим эту "верхнюю" половину группы. Для любого призывника из этой половины его рост $h \ge 176$ см.
В то же время у "нижней" половины призывников рост $h \le 176$ см.
Поскольку медиана 176 см находится внутри интервала годности $[175, 190]$, мы можем утверждать, что как минимум половина призывников годны. Докажем это от противного. Предположим, что менее половины призывников годны. Это означает, что более половины призывников не годны. Призывник не годен, если его рост $h < 175$ или $h > 190$.
Если более половины призывников имеют рост $h < 175$ см, то медиана роста в группе должна быть меньше 175 см, что противоречит условию.
Если более половины призывников имеют рост $h > 190$ см, то медиана роста в группе должна быть больше 190 см, что также противоречит условию.
Таким образом, невозможно, чтобы более половины призывников были негодными. Следовательно, как минимум половина призывников годна.

Ответ: да.