Номер 29, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 29, страница 127.

Условие.

29. Найдите область определения функции и постройте её график:

а) $y = \frac{x^2 - 16}{2x - 8}$

б) $y = \frac{4x + 12}{-x^2 - 3x}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 16}{2x - 8}$.

1. Нахождение области определения функции.

Область определения дробно-рациональной функции — это множество всех действительных чисел, при которых знаменатель не обращается в ноль. Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю:

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$

Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме $x=4$. В виде интервалов это записывается как $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Для упрощения выражения разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель представляет собой разность квадратов, а в знаменателе можно вынести общий множитель за скобки:

$y = \frac{x^2 - 4^2}{2(x - 4)} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{2(x - 4)}$

Так как из области определения известно, что $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 4)$:

$y = \frac{x + 4}{2}$ или $y = \frac{1}{2}x + 2$

Полученная функция является линейной, и ее график — прямая. Однако, исходная функция не определена в точке $x=4$. Это означает, что на графике прямой $y = \frac{1}{2}x + 2$ будет "выколотая" точка (разрыв) при $x=4$.

Найдем координаты этой выколотой точки, подставив $x=4$ в упрощенное уравнение функции:

$y(4) = \frac{1}{2}(4) + 2 = 2 + 2 = 4$

Таким образом, точка с координатами $(4, 4)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой найдем координаты двух точек. Удобно взять точки пересечения с осями координат: при $x=0$, $y = \frac{1}{2}(0) + 2 = 2$, получаем точку $(0, 2)$; при $y=0$, имеем $0 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow \frac{1}{2}x = -2 \Rightarrow x = -4$, получаем точку $(-4, 0)$.

Проводим прямую через точки $(0, 2)$ и $(-4, 0)$ и отмечаем на ней выколотую точку $(4, 4)$ в виде пустого кружка.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Графиком функции является прямая $y = \frac{1}{2}x + 2$ с выколотой точкой $(4, 4)$.

б)

Дана функция $y = \frac{4x + 12}{-x^2 - 3x}$.

1. Нахождение области определения функции.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых он обращается в ноль:

$-x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $-x=0$ (т.е. $x=0$) или $x+3=0$ (т.е. $x=-3$).

Следовательно, область определения функции $D(y)$ — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-3$. В виде интервалов: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{4(x + 3)}{-x(x + 3)}$

Поскольку из области определения $x \neq -3$ и $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(x + 3)$:

$y = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$

Мы получили функцию обратной пропорциональности, график которой — гипербола. Так как коэффициент $k=-4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой, а прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальной асимптотой.

Из области определения следует, что на графике гиперболы $y = -\frac{4}{x}$ имеется выколотая точка при $x=-3$.

Найдем ординату этой точки, подставив $x=-3$ в упрощенное уравнение:

$y(-3) = -\frac{4}{-3} = \frac{4}{3}$

Следовательно, точка с координатами $(-3, \frac{4}{3})$ не принадлежит графику функции.

Для построения гиперболы найдем координаты нескольких точек: при $x=1, y=-4$; при $x=2, y=-2$; при $x=4, y=-1$; при $x=-1, y=4$; при $x=-2, y=2$; при $x=-4, y=1$.

Строим ветви гиперболы по этим точкам, которые приближаются к осям координат, и отмечаем на графике выколотую точку $(-3, \frac{4}{3})$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$. Графиком функции является гипербола $y = -\frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(-3, \frac{4}{3})$.