Номер 24, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 24, страница 126.

Условие.

24. Зная, что $x - \frac{3}{x} = 5$, найдите значение выражения $x^2 + \frac{9}{x^2}$.

Решение.

Решение 2.

Нам дано равенство $x - \frac{3}{x} = 5$. Необходимо найти значение выражения $x^2 + \frac{9}{x^2}$.

Заметим, что искомое выражение похоже на часть формулы квадрата суммы или разности. Возведем обе части исходного равенства в квадрат, чтобы получить члены $x^2$ и $\frac{9}{x^2}$.

Для левой части используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = \frac{3}{x}$.

$(x - \frac{3}{x})^2 = 5^2$

Раскрываем скобки в левой части:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + (\frac{3}{x})^2 = 25$

Упрощаем выражение, сокращая $x$ в среднем члене и возводя в квадрат второй член:

$x^2 - 6 + \frac{9}{x^2} = 25$

Теперь мы видим, что в полученном уравнении содержится искомое выражение $x^2 + \frac{9}{x^2}$. Чтобы найти его значение, перенесем $-6$ из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

$x^2 + \frac{9}{x^2} = 25 + 6$

$x^2 + \frac{9}{x^2} = 31$

Ответ: 31