Номер 27, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 27, страница 127.

Условие.

27. Упростите выражение $\sqrt{a^2 + 2a + 1} - \sqrt{a^2 - 4a + 4}$, если известно, что $a > 2$

Решение.

Решение 2.

Для упрощения данного выражения необходимо проанализировать выражения, стоящие под знаками квадратного корня.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $a^2 + 2a + 1$. Это выражение является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=1$, поэтому:

$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$

Рассмотрим второе подкоренное выражение: $a^2 - 4a + 4$. Это выражение является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=2$, поэтому:

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$\sqrt{a^2 + 2a + 1} - \sqrt{a^2 - 4a + 4} = \sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{(a-2)^2}$

Используем свойство квадратного корня, согласно которому $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль x). Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{(a-2)^2} = |a+1| - |a-2|$

Чтобы раскрыть модули, воспользуемся условием из задачи: $a > 2$.

1. Оценим знак выражения $a+1$. Так как $a > 2$, то $a$ — положительное число. Сумма $a+1$ также будет положительна, то есть $a+1 > 0$. Следовательно, модуль раскрывается со знаком плюс: $|a+1| = a+1$.

2. Оценим знак выражения $a-2$. Так как по условию $a > 2$, то разность $a-2$ будет положительна, то есть $a-2 > 0$. Следовательно, модуль также раскрывается со знаком плюс: $|a-2| = a-2$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$|a+1| - |a-2| = (a+1) - (a-2)$

Раскроем скобки и выполним вычитание:

$a + 1 - a + 2 = (a - a) + (1 + 2) = 0 + 3 = 3$

Ответ: 3