Номер 28, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 28, страница 127.

Условие.

28. Известно, что сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ равна 40. Найдите $a$.

Решение.

Решение 2.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 4x + a = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 40, что можно записать в виде:
$x_1^2 + x_2^2 = 40$

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a$

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
Из этой формулы выразим $x_1^2 + x_2^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это равенство значения, полученные из теоремы Виета, и значение из условия задачи:
$40 = (4)^2 - 2 \cdot a$

Получили уравнение относительно $a$. Решим его:
$40 = 16 - 2a$
$2a = 16 - 40$
$2a = -24$
$a = \frac{-24}{2}$
$a = -12$

Чтобы убедиться в корректности решения, проверим, имеет ли уравнение действительные корни при найденном значении $a$. Для этого вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$
Поскольку $D = 64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, условие задачи выполнимо.

Ответ: -12.