Номер 25, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 25, страница 127.

Условие.

25. Упростите выражение:

a) $\sqrt{11+6\sqrt{2}} = $

б) $\sqrt{37-20\sqrt{3}} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{11+6\sqrt{2}}$, попробуем представить подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $a^2+b^2+2ab = 11+6\sqrt{2}$.

Это приводит к системе уравнений: $$ \begin{cases} a^2+b^2 = 11 \\ 2ab = 6\sqrt{2} \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{2}$. Подберем такие числа. Например, пусть $a=3$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, выполняется ли первое уравнение: $a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9+2=11$.

Уравнение выполняется, значит, мы нашли нужные числа.

Таким образом, подкоренное выражение можно записать как: $11+6\sqrt{2} = 9+2+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 3^2 + (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^2$.

Теперь извлечем корень: $\sqrt{11+6\sqrt{2}} = \sqrt{(3+\sqrt{2})^2} = |3+\sqrt{2}|$.

Так как $3+\sqrt{2}$ — положительное число, то $|3+\sqrt{2}| = 3+\sqrt{2}$.

Ответ: $3+\sqrt{2}$

---

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{37-20\sqrt{3}}$, попробуем представить подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что $a^2+b^2-2ab = 37-20\sqrt{3}$.

Это приводит к системе уравнений: $$ \begin{cases} a^2+b^2 = 37 \\ 2ab = 20\sqrt{3} \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $ab = 10\sqrt{3}$. Подберем такие числа. Например, пусть $a=5$ и $b=2\sqrt{3}$.

Проверим, выполняется ли первое уравнение: $a^2+b^2 = 5^2 + (2\sqrt{3})^2 = 25 + 4 \cdot 3 = 25+12=37$.

Уравнение выполняется, значит, мы нашли нужные числа.

Таким образом, подкоренное выражение можно записать как: $37-20\sqrt{3} = 25+12-2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3} = 5^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3} = (5-2\sqrt{3})^2$.

Теперь извлечем корень: $\sqrt{37-20\sqrt{3}} = \sqrt{(5-2\sqrt{3})^2} = |5-2\sqrt{3}|$.

Чтобы снять модуль, нужно определить знак выражения $5-2\sqrt{3}$. Сравним $5$ и $2\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2=25$ и $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Так как $25 > 12$, то $5 > 2\sqrt{3}$, и выражение $5-2\sqrt{3}$ положительно.

Следовательно, $|5-2\sqrt{3}| = 5-2\sqrt{3}$.

Ответ: $5-2\sqrt{3}$