Номер 23, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 23, страница 126.

Условие.

23. Докажите, что значение дроби не зависит от n, где n — натуральное число.

а) $ \frac{2^{n+2} + 2^{n+1} - 2^n}{2^{n+2} + 2^n} $

б) $ \frac{27^{n+1} - 3^{n+3}}{9 \cdot 3^n (3^{2n} - 1)} $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от n, необходимо упростить данное выражение. Для этого преобразуем числитель и знаменатель, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^n$.

Исходное выражение:

$$ \frac{2^{n+2} + 2^{n+1} - 2^n}{2^{n+2} + 2^n} $$

Преобразуем числитель, используя свойство степеней $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$:

$2^{n+2} + 2^{n+1} - 2^n = 2^n \cdot 2^2 + 2^n \cdot 2^1 - 2^n \cdot 1 = 2^n(4 + 2 - 1) = 2^n \cdot 5$

Аналогично преобразуем знаменатель:

$2^{n+2} + 2^n = 2^n \cdot 2^2 + 2^n \cdot 1 = 2^n(4 + 1) = 2^n \cdot 5$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{2^n \cdot 5}{2^n \cdot 5} $$

Поскольку n — натуральное число, $2^n \neq 0$. Мы можем сократить дробь на общий множитель $2^n \cdot 5$.

$$ \frac{2^n \cdot 5}{2^n \cdot 5} = 1 $$

В результате упрощения мы получили число 1, которое является константой и не зависит от значения n. Это доказывает утверждение.

Ответ: 1.

б) Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от n, упростим данное выражение. Для этого приведем все степени к одному основанию — 3.

Исходное выражение:

$$ \frac{27^{n+1} - 3^{n+3}}{9 \cdot 3^n (3^{2n} - 1)} $$

Заменим $27$ на $3^3$ и $9$ на $3^2$:

$$ \frac{(3^3)^{n+1} - 3^{n+3}}{3^2 \cdot 3^n (3^{2n} - 1)} $$

Применим свойства степеней $(a^m)^k = a^{mk}$ и $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$$ \frac{3^{3(n+1)} - 3^{n+3}}{3^{2+n} (3^{2n} - 1)} = \frac{3^{3n+3} - 3^{n+3}}{3^{n+2} (3^{2n} - 1)} $$

В числителе вынесем за скобки общий множитель. Наименьший показатель степени у 3 в числителе — это $n+3$, но для удобства факторизации вынесем $3^{n+3}$:

$3^{3n+3} - 3^{n+3} = 3^{(n+3) + 2n} - 3^{n+3} \cdot 1 = 3^{n+3} \cdot 3^{2n} - 3^{n+3} \cdot 1 = 3^{n+3}(3^{2n} - 1)$

Подставим преобразованный числитель в дробь:

$$ \frac{3^{n+3}(3^{2n} - 1)}{3^{n+2}(3^{2n} - 1)} $$

Так как n — натуральное число ($n \ge 1$), то $2n \ge 2$, следовательно $3^{2n} - 1 \neq 0$. Значит, можно сократить дробь на выражение $(3^{2n} - 1)$:

$$ \frac{3^{n+3}}{3^{n+2}} $$

Используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:

$$ 3^{(n+3) - (n+2)} = 3^{n+3-n-2} = 3^1 = 3 $$

В результате упрощения мы получили число 3, которое является константой и не зависит от значения n. Это доказывает утверждение.

Ответ: 3.