Номер 16, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 16, страница 123.

Условие.

16. В первом зрительном зале 420 мест, а во втором — 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом из залов?

Решение. Внесём необходимые данные в таблицу.

Рядов Мест в каждом ряду Всего мест

В 1-м зале $x$ $y$ $xy$

Во 2-м зале ... ... ...

По условию, в первом зале всего 420 мест, поэтому $xy = \ldots$, во втором зале всего 480 мест, поэтому $\ldots = 480.$

Составим и решим систему уравнений:

Значит, в первом зале ......... мест в каждом ряду, во втором зале ......... мест.

Решение.

Решение 2.

Решение. Внесём необходимые данные в таблицу.

Пусть в первом зале было $x$ рядов, а в каждом ряду — $y$ мест. Согласно условию, во втором зале было на 5 рядов меньше, то есть $(x-5)$ рядов, а в каждом ряду — на 10 мест больше, то есть $(y+10)$ мест.

	Рядов	Мест в каждом ряду	Всего мест
В 1-м зале	$x$	$y$	$xy$
Во 2-м зале	$x-5$	$y+10$	$(x-5)(y+10)$

По условию, в первом зале всего 420 мест, поэтому $xy = 420$.

Во втором зале всего 480 мест, поэтому $(x-5)(y+10) = 480$.

Составим и решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 420 \\ (x-5)(y+10) = 480 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$$ x = \frac{420}{y} $$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ \left(\frac{420}{y} - 5\right)(y+10) = 480 $$

Раскроем скобки:

$$ \frac{420}{y} \cdot y + \frac{420}{y} \cdot 10 - 5 \cdot y - 5 \cdot 10 = 480 $$ $$ 420 + \frac{4200}{y} - 5y - 50 = 480 $$ $$ 370 + \frac{4200}{y} - 5y = 480 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{4200}{y} - 5y - 110 = 0 $$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$, так как это число мест в ряду):

$$ 4200 - 5y^2 - 110y = 0 $$

Запишем как стандартное квадратное уравнение и разделим на $-5$ для упрощения:

$$ -5y^2 - 110y + 4200 = 0 \quad | :(-5) $$ $$ y^2 + 22y - 840 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 484 + 3360 = 3844 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62 $$

Найдем корни уравнения:

$$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 + 62}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$ $$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 - 62}{2} = \frac{-84}{2} = -42 $$

Корень $y_2 = -42$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество мест в ряду не может быть отрицательным. Следовательно, в первом зале в каждом ряду было 20 мест.

Теперь найдем количество мест в ряду во втором зале:

$$ y + 10 = 20 + 10 = 30 $$

Значит, в первом зале 20 мест в каждом ряду, во втором зале 30 мест.

Ответ: в первом зале 20 мест в ряду, во втором зале 30 мест в ряду.