Номер 11, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 11, страница 120.

Условие.

11. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

a) $x^2 - 8x + 12$

б) $8x^2 - 2x - 1$

Решение.

Решение 2.

а) $x^2 - 8x + 12$

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Сначала найдём корни квадратного уравнения, приравняв трёхчлен к нулю:
$x^2 - 8x + 12 = 0$.

2. Это приведённое квадратное уравнение ($a=1$). Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.
$x_1 + x_2 = 8$
$x_1 \cdot x_2 = 12$
Подбираем числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 2 и 6:
$2 + 6 = 8$
$2 \cdot 6 = 12$
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

(Альтернативный способ — через дискриминант)
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$.
$x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6$.
$x_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2$.

3. Подставляем найденные корни $x_1=2$ и $x_2=6$ и коэффициент $a=1$ в формулу разложения:
$x^2 - 8x + 12 = 1 \cdot (x - 2)(x - 6) = (x - 2)(x - 6)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 6)$.

б) $8x^2 - 2x - 1$

1. Для разложения данного трёхчлена на множители также найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$8x^2 - 2x - 1 = 0$.

2. Найдём дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 8$, $b = -2$, $c = -1$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36$.

3. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные корни $x_1=\frac{1}{2}$, $x_2=-\frac{1}{4}$ и коэффициент $a=8$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$8x^2 - 2x - 1 = 8(x - \frac{1}{2})(x - (-\frac{1}{4})) = 8(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{4})$.

5. Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, внесём множитель 8 в скобки. Для этого представим $8$ в виде произведения $2 \cdot 4$ и распределим множители по скобкам:
$8(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{4}) = [2(x - \frac{1}{2})] \cdot [4(x + \frac{1}{4})] = (2x - 1)(4x + 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(4x + 1)$.