Номер 8, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 8, страница 119.

Условие.

8. Сократите дробь:

а) $ \frac{a^2 - 3}{a - 3} = \dots $

б) $ \frac{\sqrt{7} + 7}{\sqrt{7}} = \dots $

в) $ x - 3\sqrt{x} = \dots $

г) $ \frac{3\sqrt{2} - 2}{7\sqrt{2}} = \dots $

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 3}{a - 3}$, преобразуем её числитель. Заметим, что прямое сокращение невозможно, так как в числителе и знаменателе нет одинаковых множителей. Однако мы можем выделить целую часть дроби. Для этого в числителе искусственно создадим выражение, делящееся на знаменатель. Добавим и вычтем 9:

$a^2 - 3 = a^2 - 9 + 6$

Теперь дробь можно переписать в виде:

$\frac{(a^2 - 9) + 6}{a - 3}$

Разделим это выражение на две дроби:

$\frac{a^2 - 9}{a - 3} + \frac{6}{a - 3}$

Числитель первой дроби является разностью квадратов $a^2 - 3^2$, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$\frac{(a - 3)(a + 3)}{a - 3} + \frac{6}{a - 3}$

Сократим одинаковый множитель $(a - 3)$ в первой дроби (при условии, что $a \neq 3$):

$a + 3 + \frac{6}{a - 3}$

Таким образом, мы представили исходную неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Ответ: $a + 3 + \frac{6}{a - 3}$

б) Чтобы упростить дробь $\frac{\sqrt{7} + 7}{\sqrt{7}}$, представим число 7 в числителе как $(\sqrt{7})^2$.

Выражение примет вид:

$\frac{\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}{\sqrt{7}}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{7}(1 + \sqrt{7})}{\sqrt{7}}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $\sqrt{7}$:

$1 + \sqrt{7}$

Ответ: $1 + \sqrt{7}$

в) В задании требуется упростить выражение $x - 3\sqrt{x}$. Это не дробь, но его можно преобразовать, вынеся общий множитель за скобки. Для этого необходимо учесть, что при $x \ge 0$ справедливо равенство $x = (\sqrt{x})^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{x})^2 - 3\sqrt{x}$

Общим множителем является $\sqrt{x}$. Вынесем его за скобки:

$\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)$

Это и есть упрощенная (разложенная на множители) форма выражения.

Ответ: $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)$

г) Для сокращения дроби $\frac{3\sqrt{2} - 2}{7\sqrt{2}}$, преобразуем её числитель. Представим число 2 как квадратный корень из двух в квадрате, то есть $2 = (\sqrt{2})^2$.

Числитель примет вид: $3\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2$.

Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки в числителе:

$\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{2}(3 - \sqrt{2})}{7\sqrt{2}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$