Номер 2, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 2, страница 118.

Условие.

2. Упростите выражение:

a) $ (x + \frac{3 - x^2}{x + 1}) : \frac{x + 3}{1 - x^2} = $

8. Выразите:

б) $ (\frac{1}{a + 3} - \frac{6}{9 - a^2} + \frac{2}{3 - a}) \cdot (9 - 6a + a^2) = $

Решение.

Решение 2.

а)

Исходное выражение: $\left(x + \frac{3 - x^2}{x + 1}\right) : \frac{x + 3}{1 - x^2}$

1. Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $(x+1)$:

$x + \frac{3 - x^2}{x + 1} = \frac{x(x + 1)}{x + 1} + \frac{3 - x^2}{x + 1} = \frac{x^2 + x + 3 - x^2}{x + 1} = \frac{x + 3}{x + 1}$

2. Теперь выражение имеет вид:

$\frac{x + 3}{x + 1} : \frac{x + 3}{1 - x^2}$

3. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{1 - x^2}{x + 3}$

4. Разложим числитель $1 - x^2$ на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$

5. Подставим разложенное выражение и сократим дроби:

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{(1 - x)(1 + x)}{x + 3} = \frac{\cancel{x + 3}}{\cancel{x + 1}} \cdot \frac{(1 - x)\cancel{(1 + x)}}{\cancel{x + 3}} = 1 - x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю и делитель не равен нулю: $x + 1 \neq 0$, $1 - x^2 \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$. Отсюда $x \neq -1$, $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Ответ: $1 - x$

б)

Исходное выражение: $\left(\frac{1}{a + 3} - \frac{6}{9 - a^2} + \frac{2}{3 - a}\right) \cdot (9 - 6a + a^2)$

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель $9 - a^2$ на множители: $9 - a^2 = (3 - a)(3 + a)$. Общий знаменатель для дробей в скобках — это $(3 - a)(3 + a)$.

$\frac{1}{a + 3} - \frac{6}{(3 - a)(3 + a)} + \frac{2}{3 - a} = \frac{1(3 - a)}{(3 + a)(3 - a)} - \frac{6}{(3 - a)(3 + a)} + \frac{2(3 + a)}{(3 - a)(3 + a)}$

2. Объединим дроби под общим знаменателем:

$\frac{(3 - a) - 6 + 2(3 + a)}{(3 - a)(3 + a)} = \frac{3 - a - 6 + 6 + 2a}{(3 - a)(3 + a)} = \frac{a + 3}{(3 - a)(3 + a)}$

3. Сократим полученную дробь:

$\frac{\cancel{a + 3}}{(3 - a)\cancel{(3 + a)}} = \frac{1}{3 - a}$

4. Упростим второй множитель $(9 - 6a + a^2)$. Это формула квадрата разности:

$9 - 6a + a^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + a^2 = (3 - a)^2$

5. Перемножим упрощенные части:

$\frac{1}{3 - a} \cdot (3 - a)^2 = \frac{(3 - a)^2}{3 - a} = 3 - a$

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, т.е. $a + 3 \neq 0$ и $9 - a^2 \neq 0$ и $3-a \neq 0$. Отсюда $a \neq -3$ и $a \neq 3$.

Ответ: $3 - a$