Номер 1, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 1, страница 118.

Условие.

1. Выполните действие:

а) $ \frac{a}{2} + \frac{a - 5}{3} = $

б) $ \frac{y - x}{xy} - \frac{x - y}{y^2} = $

в) $ \frac{5 - x}{2x} \cdot \frac{3x^2}{x^2 - 25} = $

г) $ \frac{m^2 - n^2}{m + 3n} : \frac{mn + n^2}{2m + 6n} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 3 - это 6. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 2.

$ \frac{a}{2} + \frac{a-5}{3} = \frac{3 \cdot a}{3 \cdot 2} + \frac{2 \cdot (a-5)}{2 \cdot 3} = \frac{3a}{6} + \frac{2a - 10}{6} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{3a + 2a - 10}{6} = \frac{5a - 10}{6} $

Ответ: $ \frac{5a - 10}{6} $

б) Найдем общий знаменатель для дробей $ \frac{y-x}{xy} $ и $ \frac{x-y}{y^2} $. Общим знаменателем будет $ xy^2 $. Домножим первую дробь на $ y $, а вторую на $ x $.

$ \frac{y-x}{xy} - \frac{x-y}{y^2} = \frac{y(y-x)}{xy^2} - \frac{x(x-y)}{xy^2} = \frac{y^2 - xy}{xy^2} - \frac{x^2 - xy}{xy^2} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(y^2 - xy) - (x^2 - xy)}{xy^2} = \frac{y^2 - xy - x^2 + xy}{xy^2} = \frac{y^2 - x^2}{xy^2} $

Ответ: $ \frac{y^2 - x^2}{xy^2} $

в) Чтобы перемножить дроби, нужно разложить числители и знаменатели на множители и сократить одинаковые.

$ \frac{5-x}{2x} \cdot \frac{3x^2}{x^2 - 25} $

Разложим на множители: $ 5-x = -(x-5) $ и $ x^2 - 25 = (x-5)(x+5) $ (разность квадратов).

$ \frac{-(x-5)}{2x} \cdot \frac{3x^2}{(x-5)(x+5)} $

Сократим общие множители $ (x-5) $ и $ x $:

$ \frac{-1}{2} \cdot \frac{3x}{x+5} = -\frac{3x}{2(x+5)} $

Ответ: $ -\frac{3x}{2(x+5)} $

г) Деление дробей заменяется умножением на перевернутую (обратную) дробь. Затем раскладываем выражения на множители и сокращаем.

$ \frac{m^2-n^2}{m+3n} : \frac{mn+n^2}{2m+6n} = \frac{m^2-n^2}{m+3n} \cdot \frac{2m+6n}{mn+n^2} $

Разложим числители и знаменатели на множители:

• $ m^2-n^2 = (m-n)(m+n) $
• $ 2m+6n = 2(m+3n) $
• $ mn+n^2 = n(m+n) $

Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{(m-n)(m+n)}{m+3n} \cdot \frac{2(m+3n)}{n(m+n)} $

Сократим общие множители $ (m+n) $ и $ (m+3n) $:

$ \frac{m-n}{1} \cdot \frac{2}{n} = \frac{2(m-n)}{n} $

Ответ: $ \frac{2(m-n)}{n} $