Номер 7, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 7, страница 119.

Условие.

7. Сравните значения выражений:

а) $5\sqrt{3}$ и $\sqrt{72}$

б) $-3\sqrt{3}$ и $-2\sqrt{7}$

в) $\frac{1}{2}\sqrt{44}$ и $\frac{1}{5}\sqrt{250}$

г) $\frac{3}{5}\sqrt{75}$ и $6\sqrt{\frac{3}{5}}$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сравнить выражения $5\sqrt{3}$ и $\sqrt{72}$, представим оба числа в виде корня из числа. Для этого внесем множитель $5$ под знак корня в первом выражении.

$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.

Теперь сравним полученное выражение $\sqrt{75}$ с $\sqrt{72}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных $x$, то большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Поскольку $75 > 72$, то $\sqrt{75} > \sqrt{72}$.

Следовательно, $5\sqrt{3} > \sqrt{72}$.

Ответ: $5\sqrt{3} > \sqrt{72}$.

б) Чтобы сравнить отрицательные числа $-3\sqrt{3}$ и $-2\sqrt{7}$, сначала сравним их модули (положительные значения): $3\sqrt{3}$ и $2\sqrt{7}$. Внесем множители под знак корня.

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.

Сравним подкоренные выражения: $27 < 28$, следовательно, $\sqrt{27} < \sqrt{28}$, то есть $3\sqrt{3} < 2\sqrt{7}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-3\sqrt{3}| < |-2\sqrt{7}|$, то $-3\sqrt{3} > -2\sqrt{7}$.

Ответ: $-3\sqrt{3} > -2\sqrt{7}$.

в) Сравним $\frac{1}{2}\sqrt{44}$ и $\frac{1}{5}\sqrt{250}$. Внесем множители под знак корня для каждого выражения.

$\frac{1}{2}\sqrt{44} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 44} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 44} = \sqrt{\frac{44}{4}} = \sqrt{11}$.

$\frac{1}{5}\sqrt{250} = \sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot 250} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 250} = \sqrt{\frac{250}{25}} = \sqrt{10}$.

Теперь сравним $\sqrt{11}$ и $\sqrt{10}$.

Так как $11 > 10$, то $\sqrt{11} > \sqrt{10}$.

Следовательно, $\frac{1}{2}\sqrt{44} > \frac{1}{5}\sqrt{250}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{44} > \frac{1}{5}\sqrt{250}$.

г) Сравним $\frac{3}{5}\sqrt{75}$ и $6\sqrt{\frac{3}{5}}$. Преобразуем оба выражения, внеся множители под знак корня.

Для первого выражения:

$\frac{3}{5}\sqrt{75} = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot 75} = \sqrt{\frac{9}{25} \cdot 75} = \sqrt{9 \cdot \frac{75}{25}} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Для второго выражения:

$6\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{6^2 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{36 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{108}{5}} = \sqrt{21.6}$.

Теперь сравним $\sqrt{27}$ и $\sqrt{21.6}$.

Так как $27 > 21.6$, то $\sqrt{27} > \sqrt{21.6}$.

Следовательно, $\frac{3}{5}\sqrt{75} > 6\sqrt{\frac{3}{5}}$.

Ответ: $\frac{3}{5}\sqrt{75} > 6\sqrt{\frac{3}{5}}$.