Номер 13, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 13, страница 121.

Условие.

13. Решите уравнение:

a) $ \frac{2y - 3}{y} = \frac{y + 6}{y + 4} $

Ответ:

б) $ \frac{1}{x - 4} + \frac{24}{x^2 - 16} = \frac{x + 1}{x + 4} $

Решение.

Решение 2.

а)

Исходное уравнение:

$ \frac{2y - 3}{y} = \frac{y + 6}{y + 4} $

Это рациональное уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ y \neq 0 $ и $ y + 4 \neq 0 \implies y \neq -4 $.

Теперь решим уравнение, используя свойство пропорции (умножим крест-накрест):

$ (2y - 3)(y + 4) = y(y + 6) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 2y \cdot y + 2y \cdot 4 - 3 \cdot y - 3 \cdot 4 = y \cdot y + y \cdot 6 $

$ 2y^2 + 8y - 3y - 12 = y^2 + 6y $

Приведем подобные слагаемые:

$ 2y^2 + 5y - 12 = y^2 + 6y $

Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ ay^2 + by + c = 0 $:

$ 2y^2 - y^2 + 5y - 6y - 12 = 0 $

$ y^2 - y - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант.

Найдем дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 $

Найдем корни уравнения:

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Оба корня (4 и -3) удовлетворяют ОДЗ ($ y \neq 0 $ и $ y \neq -4 $).

Ответ: -3; 4.

б)

Исходное уравнение:

$ \frac{1}{x - 4} + \frac{24}{x^2 - 16} = \frac{x + 1}{x + 4} $

Разложим знаменатель $ x^2 - 16 $ на множители по формуле разности квадратов:

$ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $

Уравнение примет вид:

$ \frac{1}{x - 4} + \frac{24}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 1}{x + 4} $

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$ x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4 $

$ x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4 $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \frac{1}{x - 4} + \frac{24}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{x + 1}{x + 4} = 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x - 4)(x + 4) $:

$ \frac{1 \cdot (x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} + \frac{24}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 0 $

Запишем числитель над общим знаменателем:

$ \frac{(x + 4) + 24 - (x^2 - 4x + x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 0 $

Упростим выражение в числителе:

$ \frac{x + 4 + 24 - (x^2 - 3x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 0 $

$ \frac{x + 28 - x^2 + 3x + 4}{(x - 4)(x + 4)} = 0 $

$ \frac{-x^2 + 4x + 32}{(x - 4)(x + 4)} = 0 $

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что мы уже учли в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:

$ -x^2 + 4x + 32 = 0 $

Умножим обе части на -1 для удобства:

$ x^2 - 4x - 32 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 $

$ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 4 $ и $ x \neq -4 $).

Корень $ x_1 = 8 $ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $ x_2 = -4 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $ x+4 $ обращается в ноль. Следовательно, $ x = -4 $ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 8.