Номер 15, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 15, страница 122.

Условие.

15. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - 2y = 11, \\ 3x + 5y = -11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 - y^2 = 21. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 11, \\ 3x + 5y = -11. \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим x из первого уравнения:

$x = 11 + 2y$

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение системы:

$3(11 + 2y) + 5y = -11$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно y:

$33 + 6y + 5y = -11$

$11y = -11 - 33$

$11y = -44$

$y = \frac{-44}{11}$

$y = -4$

Теперь, зная значение y, найдем соответствующее значение x, подставив $y = -4$ в выражение для x:

$x = 11 + 2(-4)$

$x = 11 - 8$

$x = 3$

Проверим найденное решение $(3, -4)$, подставив его в оба исходных уравнения:

$ \begin{cases} 3 - 2(-4) = 3 + 8 = 11, \\ 3(3) + 5(-4) = 9 - 20 = -11. \end{cases} $

Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, -4)$

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 - y^2 = 21. \end{cases} $

Второе уравнение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(x - y)(x + y) = 21$

Из первого уравнения системы нам известно, что $x - y = 3$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$3(x + y) = 21$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x + y = \frac{21}{3}$

$x + y = 7$

Теперь исходная система равносильна следующей системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = 7. \end{cases} $

Сложим два уравнения этой системы, чтобы исключить y:

$(x - y) + (x + y) = 3 + 7$

$2x = 10$

$x = 5$

Теперь подставим найденное значение x в любое из уравнений новой системы, например, в $x + y = 7$:

$5 + y = 7$

$y = 7 - 5$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(5, 2)$, подставив его в оба исходных уравнения:

$ \begin{cases} 5 - 2 = 3, \\ 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21. \end{cases} $

Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(5, 2)$