Номер 12, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Повторение курса алгебры 8 класса. Часть 2 - номер 12, страница 121.

Условие.

12. Сократите дробь:

а) $\frac{3x + 3}{6x^2 + 5x - 1} = $

б) $\frac{5a^2 - 18a - 8}{a^2 - 16} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{3x + 3}{6x^2 + 5x - 1}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель 3 за скобки:
$3x + 3 = 3(x + 1)$

2. Разложим на множители знаменатель $6x^2 + 5x - 1$. Для этого приравняем его к нулю и найдем корни квадратного уравнения $6x^2 + 5x - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1$
Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$6x^2 + 5x - 1 = 6(x - \frac{1}{6})(x - (-1)) = (6(x - \frac{1}{6}))(x + 1) = (6x - 1)(x + 1)$

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{3x + 3}{6x^2 + 5x - 1} = \frac{3(x + 1)}{(6x - 1)(x + 1)}$
Сократим общий множитель $(x + 1)$ (при условии, что $x \neq -1$):
$\frac{3\cancel{(x + 1)}}{(6x - 1)\cancel{(x + 1)}} = \frac{3}{6x - 1}$

Ответ: $\frac{3}{6x - 1}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^2 - 18a - 8}{a^2 - 16}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $5a^2 - 18a - 8$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $5a^2 - 18a - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 + 160 = 484 = 22^2$.
Найдем корни уравнения:
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$
Теперь разложим квадратный трехчлен на множители:
$5a^2 - 18a - 8 = 5(a - 4)(a - (-\frac{2}{5})) = 5(a - 4)(a + \frac{2}{5}) = (a - 4)(5(a + \frac{2}{5})) = (a - 4)(5a + 2)$

2. Разложим на множители знаменатель $a^2 - 16$. Это разность квадратов $a^2 - 4^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{5a^2 - 18a - 8}{a^2 - 16} = \frac{(a - 4)(5a + 2)}{(a - 4)(a + 4)}$
Сократим общий множитель $(a - 4)$ (при условии, что $a \neq 4$):
$\frac{\cancel{(a - 4)}(5a + 2)}{\cancel{(a - 4)}(a + 4)} = \frac{5a + 2}{a + 4}$

Ответ: $\frac{5a + 2}{a + 4}$