Номер 1340, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1340, страница 288.

1340. Расстояние в 360 км легковой автомобиль проехал на 2 ч быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой автомобиль затратит на весь путь на 1 ч больше, чем легковой. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть x км/ч - скорость легкового автомобиля, y км/ч - скорость грузового автомобиля, тогда $\frac{360}{x}\text{ч}$ - время, потраченное на расстояние в 360км легковым автомобилем, а $\frac{360}{y}\text{ч}$ - время грузового автомобиля. Зная, что легковой автомобиль проехал на

2ч быстрее, составим уравнение $\frac{360}{y}-\frac{360}{x}=2\backslash frac\{360\}\{y\}\; -\; \backslash frac\{360\}\{x\}=2$

Если (x+30)км/ч, (у+30)км/ч - скорости легкового и грузового автомобилей соответственно, то $\frac{360}{x+30}\text{ч}$ и $\frac{360}{y+30}\text{ч}$ - их время, потраченное на путь в 360км. Зная, что грузовой автомобиль затратит на 1ч больше, составим уравнение: $\frac{360}{y+30}-\frac{360}{x+30}=1\backslash frac\{360\}\{y+30\}\; -\; \backslash frac\{360\}\{x+30\}=1$

Получим систему уравнений:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{360}{y}-\frac{360}{x}+2 /xy\\ \frac{360}{y+30}-\frac{360}{x+30}=1 /\left(y+30\right)\left(x+30\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}360x-360y=2xy\\ \left(360\left(x+30\right)-360\left(y+30\right)=(y+30\right)\left(x+30\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}360(x-y)2xy /:2\\ 360\left(x+30-y-30\right)=xy+30y+30x+900\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180(x-y)=xy\\ 360\left(x-y\right)=180\left(x-y\right)+30y+30x+900\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180(x-y)=xy\\ 360\left(x-y\right)-180\left(x-y\right)=30y+30x+900\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180(x-y)=xy\\ 180\left(x-y\right)=30y+30x+900 /:30\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180(x-y)=xy\\ 6\left(x-y\right)=y+x+30\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180x-180y=xy\\ 6x-6y-y-x=30\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}180x-180y=xy\\ 5x-7y=30\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}5x=30+7y\\ 180x-180y=xy\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 180·\frac{30+7y}{5}-180y=\frac{30+7y}{5}·y\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 36(30+7y)-180y=\frac{\left(30+7y\right)y}{5}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 1080+252y-180y=\frac{\left(30+7y\right)y}{5}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 1080+72y=\frac{\left(30+7y\right)y}{5} /·5\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{30+7y}{5}\\ 1080·5+72·5y=\left(30+7y\right)y\end{array}\right. \\ 5400+360y=30y+7y^2 \\ 7y^2+30y-360y-5400=0 \\ 7y^2-330y-5400=0 \\ 7y^2-2·165y-5400=0 \\ {D}_1={\left(-165\right)}^2-7·\left(-5400\right)= \\ =27225+37800=65025 \\ y=\frac{165\pm \sqrt{65025}}{7}; y=\frac{165\pm 255}{7} \end{gathered}$$

$y_1=60; y_2=-\frac{90}{7}<0$ - не удовлетворяет условию задачи y>0

$\left\{\begin{array}{l}y=60\\ x=\frac{30+7·60}{5}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=60\\ x=90\end{array}\right.$

Ответ: 90 км/ч, 60 км/ч

Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость грузового автомобиля, а $y$ км/ч — первоначальная скорость легкового автомобиля. Расстояние $S$ равно 360 км.

Время, которое затратил на путь грузовой автомобиль, составляет $t_{груз} = \frac{360}{x}$ ч.

Время, которое затратил на путь легковой автомобиль, составляет $t_{легк} = \frac{360}{y}$ ч.

Из первого условия известно, что легковой автомобиль проехал это расстояние на 2 часа быстрее, чем грузовой. Составим первое уравнение:

$t_{груз} - t_{легк} = 2$

$\frac{360}{x} - \frac{360}{y} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$\frac{180}{x} - \frac{180}{y} = 1$

Теперь рассмотрим второе условие. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то новые скорости будут $(x + 30)$ км/ч для грузового и $(y + 30)$ км/ч для легкового. В этом случае грузовой автомобиль затратит на 1 час больше, чем легковой. Составим второе уравнение:

$\frac{360}{x+30} - \frac{360}{y+30} = 1$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{180}{x} - \frac{180}{y} = 1 \\ \frac{360}{x+30} - \frac{360}{y+30} = 1 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{180y - 180x}{xy} = 1 \implies 180(y - x) = xy$

Преобразуем второе уравнение:

$\frac{360(y+30) - 360(x+30)}{(x+30)(y+30)} = 1$

$360(y - x) = (x+30)(y+30)$

$360(y - x) = xy + 30x + 30y + 900$

Теперь подставим выражение $xy = 180(y - x)$ из первого преобразованного уравнения во второе:

$360(y - x) = 180(y - x) + 30(x+y) + 900$

Перенесем слагаемое $180(y - x)$ в левую часть:

$180(y - x) = 30(x+y) + 900$

Разделим обе части уравнения на 30:

$6(y - x) = x+y + 30$

$6y - 6x = x + y + 30$

$5y - 7x = 30$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$5y = 7x + 30 \implies y = \frac{7x + 30}{5}$

Подставим это выражение для $y$ в уравнение $180(y - x) = xy$:

$180\left(\frac{7x+30}{5} - x\right) = x\left(\frac{7x+30}{5}\right)$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби:

$180(7x+30 - 5x) = x(7x+30)$

$180(2x+30) = 7x^2 + 30x$

$360x + 5400 = 7x^2 + 30x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$7x^2 - 330x - 5400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-330)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5400) = 108900 + 151200 = 260100$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{260100} = 510$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{330 + 510}{2 \cdot 7} = \frac{840}{14} = 60$

$x_2 = \frac{330 - 510}{2 \cdot 7} = \frac{-180}{14} < 0$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $x=60$ км/ч. Это скорость грузового автомобиля.

Теперь найдем скорость легкового автомобиля $y$:

$y = \frac{7x + 30}{5} = \frac{7 \cdot 60 + 30}{5} = \frac{420 + 30}{5} = \frac{450}{5} = 90$

Скорость легкового автомобиля равна 90 км/ч.

Проверка:

1. Начальные условия: время грузовика $360/60=6$ ч, время легкового автомобиля $360/90=4$ ч. Разница $6 - 4 = 2$ ч, что соответствует условию.

2. После увеличения скорости: скорость грузовика $60+30=90$ км/ч, скорость легкового автомобиля $90+30=120$ км/ч. Время грузовика $360/90=4$ ч, время легкового $360/120=3$ ч. Разница $4 - 3 = 1$ ч, что также соответствует условию.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 90 км/ч, скорость грузового автомобиля — 60 км/ч.