Номер 1337, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1337, страница 288.

1337. Фирма ежегодно увеличивала количество выпускаемых приборов на одно и то же число процентов. В результате за два года количество выпускаемых приборов удвоилось. Сколько процентов составлял ежегодный прирост числа выпускаемых приборов?

Пусть х% - ежегодный прирост числа выпускаемых приборов, у-число выпускаемых приборов. Зная, что за два года количество выпускаемых приборов удвоилось, составим и решим уравнение:

$y+\frac{x}{100}y+\frac{x}{100}\left(y+\frac{x}{100}y\right)=2yy+\backslash frac\{x\}\{100\}\; y+\backslash frac\{x\}\{100\}\; (y+\backslash frac\{x\}\{100\}\; y)=2y$, где $y+\frac{x}{100}y$ - количество выпускаемых приборов стало через год.

$$\begin{gathered} \left(y+\frac{xy}{100}\right)\left(1+\frac{x}{100}\right)=2y \\ y\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x}{100}\right)=2y /:y\ne 0 \\ {\left(1+\frac{x}{100}\right)}^2=2 \\ 1+\frac{2x}{100}+\frac{x^2}{10000}=2 \\ \frac{x^2}{100000}+\frac{2x}{100}-1=0 \\ \frac{x}{100}=t,\frac{x^2}{10000}=t^2 \\ {t}^2+2t-1=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-1\right)=4+4=8 \\ t=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}; t=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ t=-1\pm \sqrt{2} \end{gathered}$$

$t_1=\sqrt{2}-1,t_2=-1-\sqrt{2}<0$- не удовлетворяет условию задачи t>0

$$\begin{gathered} \frac{x}{100}=\sqrt{2}-1\backslash frac\{x\}\{100\}=\backslash sqrt\{2\}\; -\; 1 \\ x=100\left(\sqrt{2}-1\right)x=100(\backslash sqrt\{2\}\; -\; 1) \\ x\approx 41\mathrm{\%}x\; \backslash approx\; 41\backslash \% \end{gathered}$$

Ответ: ≈41%

Пусть начальное количество выпускаемых приборов равно $A_0$, а ежегодный прирост составляет $p$ процентов. Тогда каждый год количество приборов умножается на коэффициент $k$, который равен:

$k = 1 + \frac{p}{100}$

Через год количество приборов станет $A_1 = A_0 \cdot k$.

Еще через год, то есть по истечении двух лет, количество приборов станет $A_2 = A_1 \cdot k = (A_0 \cdot k) \cdot k = A_0 \cdot k^2$.

Согласно условию задачи, за два года количество приборов удвоилось, это означает, что $A_2 = 2 \cdot A_0$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для $A_2$:

$A_0 \cdot k^2 = 2 \cdot A_0$

Поскольку начальное количество приборов $A_0$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $A_0$:

$k^2 = 2$

Так как коэффициент $k$ представляет собой множитель увеличения, он должен быть положительным. Извлекаем арифметический квадратный корень:

$k = \sqrt{2}$

Теперь, зная коэффициент $k$, найдем искомый процент прироста $p$ из соотношения $k = 1 + \frac{p}{100}$:

$\sqrt{2} = 1 + \frac{p}{100}$

Выразим отсюда $p$:

$\frac{p}{100} = \sqrt{2} - 1$

$p = 100(\sqrt{2} - 1)$

Это точное значение. Для получения численного ответа можно использовать приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.4142$:

$p \approx 100(1.4142 - 1) = 100 \cdot 0.4142 = 41.42$

Таким образом, ежегодный прирост составлял $100(\sqrt{2} - 1)\%$.

Ответ: Ежегодный прирост составлял $100(\sqrt{2}-1)\%$, что приблизительно равно $41.4\%$.