Номер 1336, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1336, страница 288.

1336. Вкладчик положил деньги в банк и получил через год 2220 р. Если бы вклад был на 200 р. больше, а банк выплачивал на 1% меньше, то вкладчик получил бы 2420 р. Какова была сумма вклада и какой процент выплачивал банк ежегодно?

Пусть х р - сумма вклада, у% - ежегодный годовой процент, тогда, зная, что через год он получил 2220р, составим уравнение: $x+\frac{y}{100}x=2220.$ Если бы вклад был (x+200)р, а годовой процент был (у-1)%, то вкладчик бы получил 2420р. Составим уравнение: $x+200+\frac{y-1}{100}\left(x+200\right)=2420x+200+\backslash frac\{y-1\}\{100\}\; (x+200)=2420$

Получили систему уравнений

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+\frac{y}{100}x=2220\\ x+200+\frac{y-1}{100}\left(x+200\right)=2420\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x\left(1+\frac{y}{100}\right)=2220\\ \left(x+200\right)\left(1+\frac{y-1}{100}\right)=2420\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x·\frac{100+y}{100}=2220\\ \left(x+200\right)·\frac{100+y-1}{100}=2420\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2220:\frac{100+y}{100}\\ \left(x+200\right)·\frac{99+y}{100}=2420\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2220·100}{100+y}\\ \left(\frac{222000}{100+y}+200\right)\left(99+y\right)=242000\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=\frac{222000}{100+y}\\ \frac{222000+200\left(100+y\right)}{100+y}·\left(99+y\right)=242000\end{array}\right. \\ 200\left(1110+100+y\right)\left(99+y\right)-242000\left(100+y\right) \\ \left(1210+y\right)\left(99+y\right)=1210\left(100+y\right) \\ 119790+1210y+99y+y^2=121000+1210y \\ {y}^2+99y+119790-121000=0 \\ {y}^2+99y-1210=0 \\ D=99^2-4·1·\left(-1210\right)=9801+4840=14641 \\ y=\frac{-99\pm \sqrt{14641}}{2}; y=\frac{-99\pm 121}{2} \end{gathered}$$

$y_1=11; y_2=\frac{-220}{2}=-110<0$ -не удовлетворяет условию задачи y>0

$\left\{\begin{array}{l}y=11\\ x=\frac{222000}{100+11}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=11\\ x=\frac{222000}{111}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=11\\ x=2000\end{array}\right.$

Ответ: 2000р., 11%

Обозначим начальную сумму вклада как $S$ (в рублях), а годовую процентную ставку банка как $p$ (в процентах).

Сумма, которую вкладчик получает через год, вычисляется по формуле:$A = S \cdot (1 + \frac{p}{100})$, где $A$ — итоговая сумма.

Исходя из первого условия задачи, вкладчик получил 2220 рублей. Составим первое уравнение:$S \cdot (1 + \frac{p}{100}) = 2220$

Согласно второму условию, если бы вклад был на 200 рублей больше (то есть $S + 200$), а процентная ставка на 1% меньше (то есть $p - 1$), то итоговая сумма составила бы 2420 рублей. Составим второе уравнение:$(S + 200) \cdot (1 + \frac{p - 1}{100}) = 2420$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} S(1 + \frac{p}{100}) = 2220 \\ (S + 200)(1 + \frac{p - 1}{100}) = 2420 \end{cases} $$

Для удобства введем замену: пусть $k = 1 + \frac{p}{100}$. Тогда процентная ставка в долях равна $k - 1$.Второе уравнение можно переписать, используя $k$:$1 + \frac{p - 1}{100} = 1 + \frac{p}{100} - \frac{1}{100} = (1 + \frac{p}{100}) - 0.01 = k - 0.01$.

Теперь система уравнений выглядит так:$$ \begin{cases} S \cdot k = 2220 \\ (S + 200)(k - 0.01) = 2420 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $S$: $S = \frac{2220}{k}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:$(\frac{2220}{k} + 200)(k - 0.01) = 2420$

Приведем выражение в первых скобках к общему знаменателю:$(\frac{2220 + 200k}{k})(k - 0.01) = 2420$

Умножим обе части уравнения на $k$ (при условии, что $k \neq 0$, что верно, так как итоговая сумма больше начальной):$(2220 + 200k)(k - 0.01) = 2420k$

Раскроем скобки в левой части:$2220k - 2220 \cdot 0.01 + 200k^2 - 200k \cdot 0.01 = 2420k$$2220k - 22.2 + 200k^2 - 2k = 2420k$

Приведем подобные слагаемые:$200k^2 + 2218k - 22.2 = 2420k$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$200k^2 + 2218k - 2420k - 22.2 = 0$$200k^2 - 202k - 22.2 = 0$

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем разделим на 2 для упрощения:$2000k^2 - 2020k - 222 = 0$$1000k^2 - 1010k - 111 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1010)^2 - 4 \cdot 1000 \cdot (-111) = 1020100 + 444000 = 1464100$$\sqrt{D} = \sqrt{1464100} = 1210$

Найдем корни уравнения:$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1010 + 1210}{2 \cdot 1000} = \frac{2220}{2000} = 1.11$$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1010 - 1210}{2 \cdot 1000} = \frac{-200}{2000} = -0.1$

Поскольку $k = 1 + \frac{p}{100}$ и процентная ставка $p$ должна быть положительной (сумма вклада увеличилась), то коэффициент $k$ должен быть больше 1. Следовательно, корень $k_2 = -0.1$ является посторонним.Принимаем $k = 1.11$.

Теперь найдем процентную ставку $p$:$1 + \frac{p}{100} = 1.11$$\frac{p}{100} = 1.11 - 1 = 0.11$$p = 0.11 \cdot 100 = 11$Таким образом, банк выплачивал 11% годовых.

Наконец, найдем первоначальную сумму вклада $S$:$S = \frac{2220}{k} = \frac{2220}{1.11} = \frac{222000}{111} = 2000$Таким образом, первоначальная сумма вклада составляла 2000 рублей.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения во второе условие: вклад $2000 + 200 = 2200$ р., ставка $11\% - 1\% = 10\%$.Итоговая сумма: $2200 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 2200 \cdot 1.1 = 2420$ р. Условие выполняется.

Ответ: первоначальная сумма вклада составляла 2000 рублей, а банк выплачивал 11% ежегодно.