Номер 1329, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1329, страница 287.

1329. Решите систему уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x^2+4xy-5y=1\\ x^2+xy-6y^2=0\end{array}\right.$

Решим второе уравнение системы относительно переменной x

$$\begin{gathered} x^2+xy-6y^2=0 \\ D=y^2-4·1·\left(-6y^2\right)=y^2+24y^2=25y^2 \\ x=\frac{-y\pm \sqrt{25y^2}}{2}; x=\frac{-y\pm 5y}{2} \\ {x}_1=2y; x_2=-3y \end{gathered}$$

$\mathbf{\text{I}}. \left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 2x^2+4xy-5y=1\end{array}\right.\text{или }\mathbf{\text{II}}. \left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 2x^2+4xy-5y=1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{I.}}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 2x^2+4xy-5y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 2·{\left(2y\right)}^2+4·2y·y-5y=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 8y^2+8y^2-5y-1=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 16y^2-5y-1=0\end{array}\right. \\ 16y^2-5y-1=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·16·\left(-1\right)=25+64=89 \\ y=\frac{5\pm \sqrt{89}}{32} \\ \begin{array}{lc}\left\{\begin{array}{l}{y}_1=\frac{5+\sqrt{89}}{32}\\ x_1=2\frac{5+\sqrt{89}}{32}\end{array}\right.\text{или}& \left\{\begin{array}{l}{y}_2=\frac{5-\sqrt{89}}{32}\\ x_2=2\frac{5-\sqrt{89}}{32}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x=\frac{5+\sqrt{89}}{16}\\ y=\frac{5+\sqrt{89}}{32}\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5-\sqrt{89}}{16}\\ y=\frac{5-\sqrt{89}}{32}\end{array}\right.\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{II. }}\left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 2x^2+4xy-5y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 2{\left(-3y\right)}^2+4\left(-3y\right)y-5y-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 18y^2-12y^2-5y-1=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 6y^2-5y-1=0\end{array}\right. \\ 6y^2-5y-1=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·6·\left(-1\right)=25+24=49 \\ y=\frac{5\pm \sqrt{49}}{12}; y=\frac{5\pm 7}{12} \\ {y}_1=1; y_2=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$\begin{array}{lcc}\left\{\begin{array}{l}y=1\\ x=-3y\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{6}\\ x=-3y\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}y=1\\ x=-3\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{6}\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Ответ: $\left(\frac{5+\sqrt{89}}{16}; \frac{5+\sqrt{89}}{32}\right), \left(\frac{5-\sqrt{89}}{16}; \frac{5-\sqrt{89}}{32}\right),$$\left(-3; 1\right), \left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}\right)$

б) $\left\{\begin{array}{l}x\left(3x-2y\right)=y^2\\ 3y^2=2x\left(x+2\right)-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x^2-2xy-y^2=0\\ 3y^2=2x^2+4x-3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 3x^2-2xy-y^2=0 \\ D={\left(-2y\right)}^2-4·3·\left(-y^2\right)=4y^2+12y^2=16y^2 \\ x=\frac{2y\pm \sqrt{16y^2}}{6}; x=\frac{2y\pm 4y}{6} \\ {x}_1=y; x_2=-\frac{y}{3} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 3y^2+2x^2+4x-3\end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{y}{3}; y=-3x\\ 3y^2=2x^2+4x-3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{I. }}\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 3x^2=2x^2+4x-3\end{array}\right.\text{или}\mathbf{\text{ II. }}\left\{\begin{array}{l}y=-3x\\ 3{(-3x)}^2=2x^2+4x-3\end{array}\right. \\ 3x^2=2x^2+4x-3 \\ 3x^2-2x^2-4x+3=0 \\ {x}^2-4x+3=0 \\ D={(-4)}^2-4·1·3=16-12=4 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{4\pm 2}{2} \\ {x}_1=3; x_2=1 \\ \left\{\begin{array}{c}x=3\\ y=3\end{array}\right.\text{или} \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{II.}} 3·{(-3x)}^2=2x^2+4x-3 \\ 27x^2-2x^2-4x+3=0 \\ 25x^2-4x+3=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·25·3=16-300<0 \end{gathered}$$

корней нет

Ответ: (3; 1), (1; 1)

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 + 4xy - 5y = 1, \\ x^2 + xy - 6y^2 = 0; \end{cases} $$

Второе уравнение системы, $x^2 + xy - 6y^2 = 0$, является однородным уравнением второй степени. Решим его относительно переменной $x$, рассматривая его как квадратное уравнение $x^2 + (y)x - 6y^2 = 0$.

Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 + 24y^2}}{2} = \frac{-y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{-y \pm 5y}{2}$

Отсюда получаем два возможных соотношения между $x$ и $y$:

1) $x = \frac{-y + 5y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$

2) $x = \frac{-y - 5y}{2} = \frac{-6y}{2} = -3y$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные выражения в первое уравнение системы $2x^2 + 4xy - 5y = 1$.

Случай 1: $x = 2y$

Подставляем $x = 2y$ в первое уравнение:

$2(2y)^2 + 4(2y)y - 5y = 1$

$2(4y^2) + 8y^2 - 5y = 1$

$8y^2 + 8y^2 - 5y = 1$

$16y^2 - 5y - 1 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1)}}{2 \cdot 16} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 64}}{32} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{32}$

Находим соответствующие значения $x$, используя соотношение $x=2y$:

При $y_1 = \frac{5 + \sqrt{89}}{32}$, получаем $x_1 = 2 \cdot \frac{5 + \sqrt{89}}{32} = \frac{5 + \sqrt{89}}{16}$.

При $y_2 = \frac{5 - \sqrt{89}}{32}$, получаем $x_2 = 2 \cdot \frac{5 - \sqrt{89}}{32} = \frac{5 - \sqrt{89}}{16}$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(\frac{5 + \sqrt{89}}{16}, \frac{5 + \sqrt{89}}{32})$ и $(\frac{5 - \sqrt{89}}{16}, \frac{5 - \sqrt{89}}{32})$.

Случай 2: $x = -3y$

Подставляем $x = -3y$ в первое уравнение:

$2(-3y)^2 + 4(-3y)y - 5y = 1$

$2(9y^2) - 12y^2 - 5y = 1$

$18y^2 - 12y^2 - 5y = 1$

$6y^2 - 5y - 1 = 0$

Решаем это квадратное уравнение относительно $y$:

$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{5 \pm 7}{12}$

Отсюда получаем два значения для $y$:

$y_3 = \frac{5+7}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$y_4 = \frac{5-7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Находим соответствующие значения $x$, используя соотношение $x=-3y$:

При $y_3 = 1$, получаем $x_3 = -3 \cdot 1 = -3$.

При $y_4 = -\frac{1}{6}$, получаем $x_4 = -3 \cdot (-\frac{1}{6}) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(-3, 1)$ и $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{6})$.

Ответ: $(-3, 1)$, $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{6})$, $(\frac{5 + \sqrt{89}}{16}, \frac{5 + \sqrt{89}}{32})$, $(\frac{5 - \sqrt{89}}{16}, \frac{5 - \sqrt{89}}{32})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x(3x - 2y) = y^2, \\ 3y^2 = 2x(x + 2) - 3; \end{cases} $$

Сначала преобразуем уравнения к более удобному виду:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 0, \\ 3y^2 = 2x^2 + 4x - 3; \end{cases} $$

Первое уравнение, $3x^2 - 2xy - y^2 = 0$, является однородным. Решим его относительно $y$. Перепишем его в виде $y^2 + 2xy - 3x^2 = 0$ и применим формулу для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3x^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2x \pm \sqrt{4x^2 + 12x^2}}{2} = \frac{-2x \pm \sqrt{16x^2}}{2} = \frac{-2x \pm 4x}{2}$

Отсюда получаем два случая:

1) $y = \frac{-2x + 4x}{2} = \frac{2x}{2} = x$

2) $y = \frac{-2x - 4x}{2} = \frac{-6x}{2} = -3x$

Рассмотрим каждый случай, подставляя полученные выражения во второе уравнение системы $3y^2 = 2x^2 + 4x - 3$.

Случай 1: $y = x$

Подставляем $y=x$ во второе уравнение:

$3(x)^2 = 2x^2 + 4x - 3$

$3x^2 = 2x^2 + 4x - 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение легко решается разложением на множители:

$(x-1)(x-3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Находим соответствующие значения $y$ из соотношения $y=x$:

При $x_1 = 1$, получаем $y_1 = 1$.

При $x_2 = 3$, получаем $y_2 = 3$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(1, 1)$ и $(3, 3)$.

Случай 2: $y = -3x$

Подставляем $y=-3x$ во второе уравнение:

$3(-3x)^2 = 2x^2 + 4x - 3$

$3(9x^2) = 2x^2 + 4x - 3$

$27x^2 = 2x^2 + 4x - 3$

$25x^2 - 4x + 3 = 0$

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 3 = 16 - 300 = -284$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственными решениями системы являются пары, найденные в первом случае.

Ответ: $(1, 1)$, $(3, 3)$.