Номер 1322, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1322, страница 286.

1322. Докажите, что система уравнений не имеет решений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=0,09\\ y=x^2+1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(x^2+1\right)}^2=0,09\\ y=x^2+1\end{array}\right. \\ {x}^2+{\left(x^2+1\right)}^2=0,09 \\ {x}^2+x^4+2x^2+1-0,09=0 \\ {x}^4+3x^2+0,91=0 \\ {x}^2=t, t\ge 0 \\ {t}^2+3t+0,91=0 \\ D=9-4·1·0,91=9-3,64=5,36 \\ t=\frac{-3\pm \sqrt{5,36}}{2} \\ {t}_1=\frac{-3+\sqrt{5,36}}{2}\approx \frac{-3+2,3}{2}=\frac{-0,7}{2}<0 \\ {t}_2=\frac{-3-\sqrt{5,36}}{2}<0 \end{gathered}$$

Следовательно, система не имеет решений

$\mathbf{\text{б) }}\left\{\begin{array}{l}y=x^2+5\\ y+x^2=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^2+5\\ x^2+5+x^2=-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=x^2+5\\ 2x^2=-7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^2+5\\ x^2=-3,5 - \text{нет корней}\end{array}\right.$

Следовательно, система не имеет решений

a)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 0.09 \\y = x^2 + 1\end{cases}$

Проанализируем второе уравнение системы: $y = x^2 + 1$.

Поскольку $x^2$ является квадратом действительного числа, его значение всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, для любого действительного значения $x$, значение $y$ будет не меньше 1:

$y = x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Таким образом, из второго уравнения следует, что $y \ge 1$.

Теперь проанализируем первое уравнение: $x^2 + y^2 = 0.09$.

Из этого уравнения следует, что $y^2 \le 0.09$, так как $x^2 \ge 0$. Если $y^2 \le 0.09$, то $|y| \le \sqrt{0.09}$, что означает $|y| \le 0.3$. Это неравенство равносильно $-0.3 \le y \le 0.3$.

Итак, мы получили два противоречащих друг другу условия для переменной $y$:

1. Из второго уравнения: $y \ge 1$.
2. Из первого уравнения: $y \le 0.3$.

Не существует числа, которое одновременно больше или равно 1 и меньше или равно 0.3. Следовательно, система уравнений не имеет действительных решений, что и требовалось доказать.

Ответ: Система не имеет решений.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}y = x^2 + 5 \\y + x^2 = -2\end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x^2 + 5) + x^2 = -2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 5 = -2$

Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$2x^2 = -2 - 5$

$2x^2 = -7$

$x^2 = -3.5$

Полученное уравнение $x^2 = -3.5$ не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Так как не существует действительного значения $x$, удовлетворяющего системе, то и вся система не имеет решений, что и требовалось доказать.

Ответ: Система не имеет решений.