Номер 1320, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1320, страница 286.

1320. Докажите тождество

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{a^2+6ab+25b^2}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{\frac{a^2+10ab+25b^2-4ab}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}= \\ =\sqrt{\frac{{\left(a+5b\right)}^2-4ab}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}= \\ =\sqrt{\frac{\left(a+5b-2\sqrt{ab}\right)\left(a+5b+2\sqrt{ab}\right)}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}= \\ =\sqrt{a+5b+2\sqrt{ab}-4b}=\sqrt{a+2\sqrt{ab}+b}= \end{gathered}$$
$=\sqrt{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{a}+\sqrt{b}\mathrm{\mid }=\sqrt{a}+\sqrt{b},$ что и требовалось доказать

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ), чтобы показать, что она равна правой части (ПЧ).

ЛЧ = $\sqrt{\frac{a^2 + 6ab + 25b^2}{a - 2\sqrt{ab} + 5b} - 4b}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для существования корней $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ необходимо, чтобы $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Знаменатель дроби $a - 2\sqrt{ab} + 5b$ не должен быть равен нулю. Преобразуем знаменатель: $a - 2\sqrt{ab} + 5b = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 + 4b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + 4b$. Это выражение обращается в ноль только при одновременном выполнении условий $\sqrt{b}=0$ и $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$, то есть при $a=0$ и $b=0$. Таким образом, тождество определено для всех $a \ge 0, b \ge 0$, за исключением случая, когда $a$ и $b$ равны нулю одновременно.

Теперь преобразуем выражение под внешним корнем. Начнем с числителя дроби $a^2 + 6ab + 25b^2$. Представим его в виде разности квадратов:

$a^2 + 6ab + 25b^2 = (a^2 + 10ab + 25b^2) - 4ab = (a+5b)^2 - (2\sqrt{ab})^2$

Применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получим:

$(a+5b)^2 - (2\sqrt{ab})^2 = (a+5b - 2\sqrt{ab})(a+5b + 2\sqrt{ab})$

Подставим полученное выражение в дробь и перегруппируем слагаемые:

$\frac{(a - 2\sqrt{ab} + 5b)(a + 2\sqrt{ab} + 5b)}{a - 2\sqrt{ab} + 5b}$

Поскольку в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем сократить дробь на множитель $(a - 2\sqrt{ab} + 5b)$:

$a + 2\sqrt{ab} + 5b$

Теперь вернемся к исходному выражению для ЛЧ, подставив в него упрощенную дробь:

ЛЧ = $\sqrt{(a + 2\sqrt{ab} + 5b) - 4b}$

Упростим выражение под корнем:

ЛЧ = $\sqrt{a + 2\sqrt{ab} + b}$

Выражение под корнем является формулой полного квадрата суммы:

$a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$

Таким образом, левая часть тождества принимает вид:

ЛЧ = $\sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

Так как по ОДЗ $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$, а значит их сумма $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 0$. Поэтому корень из квадрата равен самому подкоренному выражению:

ЛЧ = $|\sqrt{a} + \sqrt{b}| = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть была приведена к виду правой части.