Номер 1319, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1319, страница 286.

1319. Учитель раздал ученикам 27 карточек, на каждой из которых было написано целое число, и попросил вместо этого числа написать по очереди на доске куб этого числа или его квадрат. Возникающие одинаковые числа с доски стирались. Приведите пример исходного набора чисел, чтобы на доске в итоге оказалось наименьшее возможное количество чисел, если все исходные числа на карточках различны?

Пусть $a^3=b^{2}a^3=b^2$, где $a\mathrm{\ne }ba\; \backslash neq\; b$, тогда получим пары чисел, которые могут стереться

a	b	$a^3=b^{2}a^3=b^2$
4 9 16 25 36 49 81 100 121 144 169 196 225	8 27 64 125 216 343 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375	64 729 4096 15625 46656 117 649 531 441 1 000 000 1 771 561 2 985 984 4 826 809 7 529 536 11 390 625

Добавим одно число, которое останется.

Пусть это будет 1

Ответ: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 343, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375

Анализ задачи и стратегии

По условию, имеется 27 карточек с различными целыми числами. Для каждого числа $x$ с карточки на доску записывается либо его квадрат $x^2$, либо его куб $x^3$. Если на доске записывается число, которое там уже присутствует, оба одинаковых числа стираются. Цель — найти такой исходный набор из 27 чисел, чтобы в итоге на доске осталось наименьшее возможное количество чисел.

Каждая запись числа на доску — это одна операция. Всего выполняется 27 операций. Если на доску записывается число, которого там еще нет, общее количество чисел на доске увеличивается на 1. Если записывается число, которое уже есть, то оно и уже имеющееся стираются. Эффективно, каждое такое "сокращение" уменьшает итоговое количество чисел на 2 по сравнению с ситуацией, где все числа были бы разными.

Пусть $C$ — это количество пар одинаковых чисел, которые были записаны на доску (количество сокращений). Тогда итоговое количество чисел на доске будет равно $27 - 2C$. Чтобы минимизировать это значение, нужно максимизировать $C$.

Поскольку у нас 27 операций, мы можем сформировать не более $\lfloor \frac{27}{2} \rfloor = 13$ пар одинаковых чисел. Одно число останется без пары. Таким образом, максимальное возможное число сокращений $C_{max} = 13$.

При $C=13$ минимальное количество чисел на доске будет $27 - 2 \times 13 = 1$. Следовательно, меньше одного числа на доске остаться не может. Наша задача — привести пример набора из 27 чисел, для которого можно добиться такого результата.

Построение примера

Чтобы произошло сокращение, два ученика с разными исходными числами $a$ и $b$ ($a \neq b$) должны записать на доску одно и то же значение. Рассмотрим, как это возможно:

• $a^2 = b^2 \implies a = -b$. Пара исходных чисел $(a, -a)$ позволяет получить два одинаковых числа $a^2$ на доске, которые сократятся.
• $a^3 = b^3 \implies a = b$. Этот случай не подходит, так как исходные числа различны.
• $a^2 = b^3$. Это равенство возможно, если $b$ — полный квадрат, а $a$ — полный куб. Например, если $b=k^2$, то $a^2 = (k^2)^3 = k^6$, откуда $a=\pm k^3$. Пара чисел $(k^2, \pm k^3)$ также может привести к сокращению, если записать $(k^2)^3$ и $(\pm k^3)^2$, оба равны $k^6$.

Наиболее простой способ — использовать пары вида $(a, -a)$. Мы можем сформировать 13 групп чисел, которые в сумме дадут 13 сокращений.

Сформируем 12 пар вида $(a, -a)$, где $a$ принимает значения от 2 до 13. Это пары: $(\pm 2), (\pm 3), \dots, (\pm 13)$. Всего эти пары включают $12 \times 2 = 24$ различных целых числа. Для каждой пары $(a, -a)$ ученики записывают на доску $a^2$ и $(-a)^2$. Так как $a^2 = (-a)^2$, эти числа взаимно уничтожаются. В результате 24 исходных числа не оставят на доске ни одного числа.

Осталось выбрать $27 - 24 = 3$ числа. Эти числа должны быть отличны от уже выбранных и в результате своих операций оставить на доске ровно одно число. Такая тройка чисел и будет составлять 13-ю группу, которая оставит одно непарное число.

Рассмотрим тройку чисел $\{0, 1, -1\}$. Эти числа не входят в ранее составленный набор. Выполним операции для этой тройки:

1. Ученик с числом $1$ пишет на доске $1^2 = 1$.
2. Ученик с числом $-1$ пишет на доске $(-1)^2 = 1$. Это число совпадает с уже имеющимся, поэтому оба числа стираются.
3. Ученик с числом $0$ пишет на доске $0^2 = 0$.

В результате этих трех операций на доске остается одно число — $0$. Пара $(1, -1)$ дала 13-е сокращение.

Объединив все числа, мы получаем искомый набор, который позволяет оставить на доске минимально возможное количество чисел (одно).

Ответ: Примером исходного набора из 27 различных целых чисел, для которого на доске в итоге останется наименьшее возможное количество чисел, является следующий набор: $\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, 7, -7, 8, -8, 9, -9, 10, -10, 11, -11, 12, -12, 13, -13\}$. При правильном выборе действий (для пар $(\pm a)$ выбирать квадраты, для тройки $\{0,1,-1\}$ — квадраты для $1$ и $-1$ и любую степень для $0$) на доске останется одно число: $0$.