Номер 1316, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1316, страница 286.

1316. Постройте график уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}xy+3x=0 \\ x\left(y+3\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& или& y+3=0\\ & & y=-3\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(x-y\right)\left(y-5\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-y=0& \text{или}& y-5=0\\ y=x& & y=5\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(xy-6\right)\left(y-3\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}xy-6=0& \text{или}& y-3=0\\ xy=6& & y=3\\ y=\frac{6}{x}& & \end{array} \end{gathered}$$

г) ${\left(x-y\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2=0$

Сумма квадратов двух выражений равна 0 тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} \begin{array}{lcl}x-y=0& \text{и}& x-1=0\\ y=x& & x=1\end{array} \\ \left\{\begin{array}{c}y=x\\ x=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=1\\ x=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}{x}^2-4=0 \\ {x}^2=4 \\ x=2 \text{или} x=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}{y}^2-9=0 \\ {y}^2=9 \\ y=3 \text{или} y=-3 \end{gathered}$$

а) $xy + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(y + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение распадается на два:

$x = 0$ или $y + 3 = 0$

Из второго уравнения получаем $y = -3$.

Графиком уравнения $x = 0$ является ось ординат (ось $Oy$).

Графиком уравнения $y = -3$ является прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, -3)$.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: ось $Oy$ ($x=0$) и прямая $y=-3$.

б) $(x - y)(y - 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение распадается на два:

$x - y = 0$ или $y - 5 = 0$

Из первого уравнения получаем $y = x$.

Из второго уравнения получаем $y = 5$.

Графиком уравнения $y = x$ является прямая, которая является биссектрисой I и III координатных углов.

Графиком уравнения $y = 5$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 5)$.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: $y=x$ и $y=5$.

в) $(xy - 6)(y - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение распадается на два:

$xy - 6 = 0$ или $y - 3 = 0$

Из первого уравнения получаем $xy = 6$, что можно записать как $y = \frac{6}{x}$ (при $x \neq 0$).

Из второго уравнения получаем $y = 3$.

Графиком уравнения $y = \frac{6}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами гиперболы являются оси координат.

Графиком уравнения $y = 3$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 3)$.

График исходного уравнения представляет собой объединение гиперболы и прямой.

Ответ: Графиком уравнения является объединение гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямой $y=3$.

г) $(x - y)^2 + (x - 1)^2 = 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - y)^2 \ge 0$ и $(x - 1)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (x - 1)^2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения системы находим $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Из первого уравнения системы находим $x - y = 0$, откуда $x = y$.

Подставив $x = 1$ в уравнение $x = y$, получаем $y = 1$.

Таким образом, единственным решением уравнения является пара чисел $(1, 1)$. Графиком является одна точка.

Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами $(1, 1)$.

д) $x^2 - 4 = 0$

Перепишем уравнение в виде $x^2 = 4$.

Решениями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.

Уравнение $x = 2$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, проходящую через точку $(2, 0)$ параллельно оси $Oy$.

Уравнение $x = -2$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, проходящую через точку $(-2, 0)$ параллельно оси $Oy$.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $x=2$ и $x=-2$.

е) $y^2 - 9 = 0$

Перепишем уравнение в виде $y^2 = 9$.

Решениями этого уравнения являются $y = 3$ и $y = -3$.

Уравнение $y = 3$ задает на координатной плоскости горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, 3)$ параллельно оси $Ox$.

Уравнение $y = -3$ задает на координатной плоскости горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, -3)$ параллельно оси $Ox$.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $y=3$ и $y=-3$.