Номер 1310, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1310, страница 285.

1310. Постройте график функции, заданной формулой:

а) y = |х + 2| + |х - 2|;

б) y = |х + 1| - |х - 1|.

a) y=|x+2|+|x-2|

Найдем нули подмодульных выражений:

$\begin{array}{ll}x+2=0 & x-2=0\\ x=-2& x=2\end{array}$

Есме x<-2, то y=-x-2-x+2

y=-2x

если -2≤x≤2, то y=x+2-x+2

y=4

если x>2, то y=x+2+x-2

y=2x

$y=\left\{\begin{array}{l}-2x, \text{если} x<-2\\ 4, \text{если} -2\le x\le 2\\ 2x, \text{если} x>2\end{array}\right.$

б) y=|x+1|-|x-1|

Найдём нули подмодульных выражений

$\begin{array}{ll}x+1=0 & x-1=0\\ x=-1& x=1\end{array}$

Если x<-1, то y=-x-1+x-1

y=-2

если -1≤x≤1, то y=x+1+x-1

y=2x

если x>1, то y=x+1-x+1

y=2

$y=\left\{\begin{array}{l}-2, \text{если} x<-1\\ 2x, \text{если} -1\le x\le 1\\ 2, \text{если} x>1\end{array}\right.$

а) $y = |x + 2| + |x - 2|$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модули. Выражения под знаком модуля, $x+2$ и $x-2$, обращаются в ноль при $x = -2$ и $x = 2$ соответственно. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -2)$, $[-2; 2)$ и $[2; +\infty)$. Рассмотрим вид функции на каждом из этих промежутков.

1. При $x < -2$.
В этом случае оба подмодульных выражения отрицательны: $x+2 < 0$ и $x-2 < 0$.
Следовательно, $|x+2| = -(x+2) = -x-2$ и $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
Функция принимает вид: $y = (-x-2) + (-x+2) = -2x$.

2. При $-2 \le x < 2$.
В этом случае $x+2 \ge 0$, а $x-2 < 0$.
Следовательно, $|x+2| = x+2$ и $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
Функция принимает вид: $y = (x+2) + (-x+2) = 4$.

3. При $x \ge 2$.
В этом случае оба подмодульных выражения неотрицательны: $x+2 > 0$ и $x-2 \ge 0$.
Следовательно, $|x+2| = x+2$ и $|x-2| = x-2$.
Функция принимает вид: $y = (x+2) + (x-2) = 2x$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < -2 \\ 4, & \text{если } -2 \le x < 2 \\ 2x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

График функции состоит из трёх частей: луча $y=-2x$ при $x \le -2$ (проходит через точки $(-2, 4)$ и $(-3, 6)$), горизонтального отрезка $y=4$ на промежутке $[-2, 2]$ и луча $y=2x$ при $x \ge 2$ (проходит через точки $(2, 4)$ и $(3, 6)$).

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y=-2x$ при $x \in (-\infty, -2]$, отрезка $y=4$ при $x \in [-2, 2]$ и луча $y=2x$ при $x \in [2, +\infty)$.

б) $y = |x + 1| - |x - 1|$

Раскроем модули, определив знаки подмодульных выражений. Точки, в которых выражения $x+1$ и $x-1$ равны нулю, это $x=-1$ и $x=1$. Они разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $[-1; 1)$ и $[1; +\infty)$.

1. При $x < -1$.
Оба выражения отрицательны: $x+1 < 0$ и $x-1 < 0$.
Следовательно, $|x+1| = -(x+1)$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Функция принимает вид: $y = -(x+1) - (-(x-1)) = -x-1+x-1 = -2$.

2. При $-1 \le x < 1$.
Выражение $x+1 \ge 0$, а $x-1 < 0$.
Следовательно, $|x+1| = x+1$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Функция принимает вид: $y = (x+1) - (-(x-1)) = x+1+x-1 = 2x$.

3. При $x \ge 1$.
Оба выражения неотрицательны: $x+1 > 0$ и $x-1 \ge 0$.
Следовательно, $|x+1| = x+1$ и $|x-1| = x-1$.
Функция принимает вид: $y = (x+1) - (x-1) = x+1-x+1 = 2$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} -2, & \text{если } x < -1 \\ 2x, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ 2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

График этой функции состоит из трёх частей: горизонтального луча $y=-2$ при $x \le -1$, отрезка прямой $y=2x$ на промежутке $[-1, 1]$ (соединяет точки $(-1, -2)$ и $(1, 2)$) и горизонтального луча $y=2$ при $x \ge 1$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y=-2$ при $x \in (-\infty, -1]$, отрезка $y=2x$ при $x \in [-1, 1]$ и луча $y=2$ при $x \in [1, +\infty)$.