Номер 1306, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1306, страница 285.

1306. Найдите члены пропорции х₁ : х₂ = х₃ : х₄, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.

$x_1:x_2=x_3:x_{4}x\_1\; :\; x\_2=x\_3\; :\; x\_4$

По условию задачи $x_1=x_2+6; x_3=x_4+5$ и $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=793$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x_2+6}{x_2}=\frac{x_4+5}{x_2}\\ {\left(x_2+6\right)}^2+x_2^2+{\left(x_4+5\right)}^2+x_4^2=793\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_4\left(x_2+6\right)=x_2\left(x_4+5\right)\\ x_2^2+12x_2+36+x_2^2+x_4^2+10x_4+25+x_4^2=793\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_2{x}_4+6x_4=x_2{x}_4+5x_2\\ 2x_2^2+12x_2+36+2x_4^2+10x_4+25=793\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}5x_2=6x_4\\ 2x_2^2+12x_2+2x_4^2+10x_4+61=793\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{6x_4}{5}\\ 2x_2^2+12x_2+2x_4^2+10x_4=732 \mathrm{/}:2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{6x_4}{5}\\ x_2^2+6x_2+x_4^2+5x_4=366\end{array}\right. \\ {\left(\frac{6x_4}{5}\right)}^2+6·\frac{6x_4}{5}+x_4^2+5x_4=366 \\ \frac{36x_4^2}{25}+\frac{36x_4}{5}+x_4^2+5x_4=366\mathrm{/}·25 \\ 36x_4^2+180x_4+25x_4^2+125x_4=9150 \\ 61x_4^2+305x_4-9150=0\mathrm{/}:61 \\ {x}_4^2+5x_4-150=0 \\ D=5^2-4·1·\left(-150\right)=25+600=625 \\ {x}_4=\frac{-5\pm \sqrt{625}}{2}; x_4=\frac{-5\pm 25}{2} \\ {x}_4=10\text{или}{x}_4=-15 \\ {x}_3=10+5=15\text{или}{x}_3=-15+5=-10 \\ {x}_2=\frac{6x_4}{5}=\frac{6·10}{5}=12 \\ \text{или} \\ {x}_2=\frac{6x_4}{5}=\frac{6·\left(-15\right)}{5}=-18 \\ {x}_1=12+6=18\text{или}{x}_1=-18+6=-12 \end{gathered}$$

Ответ: 18; 12; 15; 10 или -12; -18; -10; -15

Пусть члены пропорции равны $x_1, x_2, x_3, x_4$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Пропорция $x_1 : x_2 = x_3 : x_4$. По основному свойству пропорции это означает, что $x_1 \cdot x_4 = x_2 \cdot x_3$.
2. Первый член на 6 больше второго: $x_1 = x_2 + 6$.
3. Третий член на 5 больше четвертого: $x_3 = x_4 + 5$.
4. Сумма квадратов всех членов равна 793: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 793$.

Подставим выражения для $x_1$ и $x_3$ из второго и третьего уравнений в первое:

$(x_2 + 6) \cdot x_4 = x_2 \cdot (x_4 + 5)$

Раскроем скобки:

$x_2 x_4 + 6x_4 = x_2 x_4 + 5x_2$

Вычтем $x_2 x_4$ из обеих частей уравнения:

$6x_4 = 5x_2$

Из этого соотношения следует, что мы можем выразить $x_2$ и $x_4$ через некоторый коэффициент пропорциональности $k$. Пусть $x_2 = 6k$ и $x_4 = 5k$.

Теперь выразим $x_1$ и $x_3$ через $k$:

$x_1 = x_2 + 6 = 6k + 6$

$x_3 = x_4 + 5 = 5k + 5$

Подставим все четыре выражения в уравнение для суммы квадратов:

$(6k + 6)^2 + (6k)^2 + (5k + 5)^2 + (5k)^2 = 793$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(36k^2 + 72k + 36) + 36k^2 + (25k^2 + 50k + 25) + 25k^2 = 793$

Сгруппируем подобные члены:

$(36+36+25+25)k^2 + (72+50)k + (36+25) = 793$

$122k^2 + 122k + 61 = 793$

$122k^2 + 122k - 732 = 0$

Разделим обе части уравнения на 122:

$k^2 + k - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $k_1 = 2$ и $k_2 = -3$.

Теперь найдем члены пропорции для каждого значения $k$.

Случай 1: $k = 2$

$x_1 = 6(2) + 6 = 12 + 6 = 18$

$x_2 = 6(2) = 12$

$x_3 = 5(2) + 5 = 10 + 5 = 15$

$x_4 = 5(2) = 10$

Получаем пропорцию 18 : 12 = 15 : 10.

Случай 2: $k = -3$

$x_1 = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12$

$x_2 = 6(-3) = -18$

$x_3 = 5(-3) + 5 = -15 + 5 = -10$

$x_4 = 5(-3) = -15$

Получаем пропорцию -12 : -18 = -10 : -15.

Таким образом, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Члены пропорции: 18, 12, 15, 10 или -12, -18, -10, -15.