Номер 1305, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1305, страница 285.

1305. Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число.

Пусть х - цифра единиц, x+3 - цифра десятков. $10\left(x+3\right)+x=10x+30+x=11x+3010\; (x+3)+x=10x+30+x=11x+30$ - искомое число. $10x+x+3=11x+310x+x+3=11x+3$ - число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. По условию задачи составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \left(11x+30\right)\left(11x+3\right)=574 \\ 121x^2+33x+330x+90·574=0 \\ 121x^2+363x-484=0 /:121 \\ {x}^2+3x-4=0 \\ D=3^2-4·1·\left(-4\right)=9+16=25 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{-3\pm 5}{2} \end{gathered}$$

$x_1=1; x_2=-4$ - не цифра

1+3=4

41 - искомое число

Ответ: 41

Пусть $x$ — это цифра десятков искомого двузначного числа, а $y$ — это цифра его единиц. Тогда само число можно записать в виде $10x + y$.

Согласно условию, число единиц на 3 меньше числа десятков, что можно выразить уравнением:$y = x - 3$.

Поскольку $y$ является цифрой, $y \geq 0$, следовательно, $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$. Также $x$ — это цифра десятков, поэтому $x$ может принимать целые значения от 3 до 9.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $10y + x$.

Произведение этого числа и исходного числа равно 574. Составим второе уравнение:$(10x + y)(10y + x) = 574$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$(10x + (x - 3))(10(x - 3) + x) = 574$.

Упростим выражения в скобках:$(11x - 3)(10x - 30 + x) = 574$$(11x - 3)(11x - 30) = 574$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:$121x^2 - 330x - 33x + 90 = 574$$121x^2 - 363x + 90 - 574 = 0$$121x^2 - 363x - 484 = 0$.

Все коэффициенты этого уравнения делятся на 121. Разделим обе части уравнения на 121:$x^2 - 3x - 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Легко подобрать корни:$x_1 = 4$$x_2 = -1$.

Так как $x$ — это цифра десятков, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, цифра десятков $x = 4$.

Теперь найдем цифру единиц $y$:$y = x - 3 = 4 - 3 = 1$.

Итак, искомое двузначное число — 41.

Проверим: число с обратным порядком цифр — 14. Произведение $41 \times 14 = 574$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 41.