Номер 1300, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1300, страница 284.

1300. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта В. Прибыв в пункты А и В, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта А. Найдите расстояние между пунктами А и В.

Пусть х км - расстояние между пунктами А и В, V₁ км/ч - скорость первого велосипедиста, V₂ км/ч - скорость второго велосипедиста, тогда время, потраченное велосипедистами до первой встречи равно $t=\frac{x-30}{V_1}=\frac{30}{V_2}t=\backslash frac\{x-30\}\{V\_1\}=\backslash frac\{30\}\{V\_2\}$, а время, потраченное велосипедистами до второй встречи

$$\begin{gathered} t=\frac{2x-18}{V_1}=\frac{x+18}{V_2} \\ \frac{V_1}{V_2}=\frac{x-30}{30}=\frac{2x-18}{x+18} \\ \frac{x-30}{30}=\frac{2x-18}{x+18} \\ \left(x-30\right)\left(x+18\right)=30\left(2x-18\right) \\ {x}^2+18x-30x-540=60x-540 \\ {x}^2-12x-60x=0 \\ {x}^2-72x=0 \\ x\left(x-72\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-72=0\\ & & x=72\end{array} \end{gathered}$$

x=0 - не удовлетворяет условию $x>0x\; >\; 0$

Ответ: 72 км

Пусть $S$ — искомое расстояние между пунктами А и В (в км). Пусть $v_A$ и $v_B$ — скорости первого (из пункта А) и второго (из пункта В) велосипедистов соответственно.

Рассмотрим суммарное расстояние, которое проехали оба велосипедиста. К моменту первой встречи, двигаясь навстречу друг другу, они вместе преодолели всё расстояние между пунктами, то есть $S$.

К моменту второй встречи каждый из них сначала доехал до противоположного пункта, а затем повернул обратно и проехал еще часть пути. Таким образом, к моменту второй встречи они вместе преодолели расстояние $S$ трижды (один раз до первой встречи, и еще два раза в сумме с момента первой встречи до второй). Суммарное расстояние, пройденное обоими велосипедистами, равно $3S$.

Так как скорости велосипедистов постоянны, то время, затраченное на путь до второй встречи, в три раза больше времени, затраченного на путь до первой встречи. Следовательно, каждый из велосипедистов к моменту второй встречи проехал расстояние, в три раза большее, чем до первой.

Рассмотрим путь велосипедиста, выехавшего из пункта В.

До первой встречи он проехал 30 км (поскольку встреча произошла в 30 км от пункта В).

Следовательно, к моменту второй встречи он проехал расстояние в три раза большее: $3 \times 30 = 90$ км.

С другой стороны, из условия задачи мы знаем, что вторая встреча произошла в 18 км от пункта А. Это означает, что велосипедист, выехавший из пункта В, сначала проехал всё расстояние от В до А (то есть $S$ км), а затем развернулся и проехал ещё 18 км от А в обратном направлении. Таким образом, общее расстояние, которое он проехал, равно $S + 18$ км.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для расстояния, которое проехал второй велосипедист к моменту второй встречи:

$S + 18 = 90$

Решая это уравнение, находим $S$:

$S = 90 - 18$

$S = 72$

Таким образом, расстояние между пунктами А и В составляет 72 км.

Ответ: 72 км.